[論文レビュー] Simple digital quantum algorithm for symmetric first order linear hyperbolic systems

François Fillion‐Gourdeau, Emmanuel Lorin|arXiv (Cornell University)|May 25, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、リザボア法と交互方向作用素分割を組み合わせたデジタル量子アルゴリズムを提案し、対称的一階線形双曲型系を解く。スキームを単純なユニタリ変換に還元することで、時間発展演算において古典的手法に比べ指数的高速化を達成するが、振幅符号化のため測定には後処理を要する。

ABSTRACT

This paper is devoted to the derivation of a digital quantum algorithm for the Cauchy problem for symmetric first order linear hyperbolic systems, thanks to the reservoir technique. The reservoir technique is a method designed to avoid artificial diffusion generated by first order finite volume methods approximating hyperbolic systems of conservation laws. For some class of hyperbolic systems, namely those with constant matrices in several dimensions, we show that the combination of i) the reservoir method and ii) the alternate direction iteration operator splitting approximation, allows for the derivation of algorithms only based on simple unitary transformations, thus perfectly suitable for an implementation on a quantum computer. The same approach can also be adapted to scalar one-dimensional systems with non-constant velocity by combining with a non-uniform mesh. The asymptotic computational complexity for the time evolution is determined and it is demonstrated that the quantum algorithm is more efficient than the classical version. However, in the quantum case, the solution is encoded in probability amplitudes of the quantum register. As a consequence, as with other similar quantum algorithms, a post-processing mechanism has to be used to obtain general properties of the solution because a direct reading cannot be performed as efficiently as the time evolution.

研究の動機と目的

• 対称的一階線形双曲型系に対する量子速度向上を活用する量子アルゴリズムの開発を目的とする。
• リザボア技術を用いて数値スキームにおける人工的拡散を排除し、安定性と精度を確保することを目的とする。
• 作用素分割を用いてスキームをユニタリ操作に還元することで、量子実装の効率化を図ることを目的とする。
• 時間発展演算の複雑さにおいて、古典的手法に比べ計算的優位性を示すことを目的とする。
• 振幅符号化の制限にもかかわらず、量子優位性が保持される条件を特定することを目的とする。

提案手法

• リザボア法を用いて、双曲型系の有限体積スキームにおける人工的拡散を排除する。
• 交互方向反復作用素分割を用いて、多次元問題を逐次的一次元更新に分解する。
• 得られたスキームをストリーミング操作の系列に再定式化し、量子レジスタ上でのユニタリ変換として実装する。
• 振幅符号化により、解の波動関数を離散基底を用いて量子状態の振幅にマッピングする。
• 時間発展演算を、ユニタリゲートに分解するTrotter型分解により近似する。
• 1次元で速度が定数でない場合、非一様メッシュをリザボア法と組み合わせることで、正確性とユニタリティを維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リザボア法と作用素分割を組み合わせることで、対称的双曲型系に対するユニタリ量子アルゴリズムを構築可能か？
• RQ2 古典的手法の有限体積スキームと比較して、量子時間発展演算の計算複雑度はいかほどか？
• RQ3 本アルゴリズムは、1次元スカラー系における非定数速度をどのように処理するか？
• RQ4 非対称または空間依存行列への拡張における制限は何か？
• RQ5 測定に後処理を要するにもかかわらず、量子アルゴリズムが指数的高速化を達成可能か？

主な発見

• 本アルゴリズムは、対称的双曲型系の解法をユニタリ操作の系列に還元し、量子実装に適した形態をとる。
• 多次元で対称行列が定数の場合、古典的手法の有限体積スキームに比べ、時間発展演算の複雑さにおいて指数的高速化を達成する。
• 量子アルゴリズムの漸近的計算複雑度は、古典バージョンと比較して有利にスケーリングされるが、測定はO(N)の演算を要する。
• 非一様メッシュを用いることで、1次元スカラー系における非定数速度の一般化が可能となり、ユニタリティと正確性が保たれる。
• 非定数または非対称行列の場合、非ユニタリ操作を必要とし、量子ハードウェア上での実装がより困難である。
• 本手法は、翻訳演算子の重要性と、空間的シフトの効率的実装の意義を強調しており、線形PDEへの広範な適用可能性に寄与する。