[論文レビュー] Simple field theoretical models on noncommutative manifolds

Harald Grosse, C. Klimčı́k+1 more|ArXiv.org|Oct 24, 1995

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、行列モデルを用いて非可換多様体上での単純な量子場の理論を定式化し、ファジー球面を主要な例として挙げる。行列正則化を用いて対称性を保存する紫外・高エネルギー端末を導入することで、トポロジカルに非自明な配置の近似とスピンオーモデルにおける超対称性の保存が可能となり、非可換場の理論に対する非摂動的正則化スキームを提供する。

ABSTRACT

We review recent progress in formulating two-dimensional models over noncommutative manifolds where the space-time coordinates enter in the formalism as non-commuting matrices. We describe the Fuzzy sphere and a way to approximate topological nontrivial configurations using matrix models. We obtain an ultraviolet cut off procedure, which respects the symmetries of the model. The treatment of spinors results from a supersymmetric formulation; our cut off procedure preserves even the supersymmetry.

研究の動機と目的

• 非可換空間上の量子場の理論に対する非摂動的正則化スキームの開発を目的とする。
• 有限次元行列近似を用いてトポロジカルに非自明な配置をモデル化することを目的とする。
• 正則化プロセスにおいて時空的および内部対称性、特に超対称性を保存することを目的とする。
• 行列モデルを用いて非可換多様体上の場の理論フレームワークを確立することを目的とする。
• モデルの元の幾何構造および対称性と整合するUV端末手順を確立することを目的とする。

提案手法

• 2次元球面の非可換近似としてファジー球面を用い、座標を有限次元行列に置き換える。
• 連続場を行列値場に置き換えることで、ファジー球面上に場の理論を構築する。
• 有限次元行列表現を用いてUV端末を実装し、自然に発散を正則化する。
• スピンオーモデルにおける超対称性を保証するため、非可換多様体上でのスピンオーフォーマルな定式化を適用する。
• 行列正則化を用いてトポロジカルなソリトンや非自明な巻き数を持つ配置を近似する。
• 正則化プロセスが元の連続的理論の完全な対称性代数を尊重することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元行列を用いて非可換場の理論におけるトポロジカルに非自明な場の配置をどのように近似できるか？
• RQ2 それらの理論の元の対称性を破らずに非可換場の理論にUV端末を導入できるか？
• RQ3 非可換多様体上にスピンオーフォーマルに一貫して定義できるか、かつ超対称性が保存されるか？
• RQ4 行列モデルは非可換幾何を量子場の理論に実現するために果たす役割は何か？
• RQ5 ファジー球面は、場の理論的モデルにおいて2次元球面の正則化版としてどの程度有効に機能するか？

主な発見

• ファジー球面は2次元球面の有限次元行列近似を提供し、非可換場の理論の構築を可能にする。
• 行列正則化プロセスは、元のモデルの完全な対称性代数を保存するUV端末として機能する。
• インスタントンやソリトンなどのトポロジカルな配置は、有限次元行列表現を用いて近似可能である。
• 非可換多様体上でのスピンオーフォーマルな定式化は一貫しており、行列モデルにおいて超対称性が保存される。
• この手法は、通常のUV発散を回避する非可換場の理論に対する非摂動的正則化スキームを提供する。
• このアプローチは、行列モデルを通じて非可換幾何を量子場の理論に具体的に実現する。