[論文レビュー] Simple finite group schemes and their infinitesimal deformations

Filippo Viviani|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 30被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、単純な有限群スキームを代数的に閉じた体上に分類する際、問題を正の特性における単純な有限群および単純な制限付きリーヒューリング代数の分類に還元する。群スキームが古典的リーヒューリング代数に対応する場合、剛性を示すが、カルタン型リーヒューリング代数に対応する群スキームは非自明な無限小変形を許容し、それらの第二制限付きコホモロジー群を明示的に計算し、これらの変形の生成子を提供する。

ABSTRACT

We show that the classification of simple finite group schemes over an algebraically closed field reduces to the classification of abstract simple finite groups and of simple restricted Lie algebras in positive characteristic. Both these two simple objects have been classified. We review this classification. Finally, we address the problem of determining the infinitesimal deformations of simple finite group schemes.

研究の動機と目的

• 代数的に閉じた正の特性の体上の単純な有限群スキームを分類すること。
• このような群スキームが剛性を示すか、非自明な無限小変形を許容するかを特定すること。
• カルタン型の単純な制限付きリーヒューリング代数に対して第二制限付きコホモロジー群 $ H^2_{*}(rak{g}, rak{g}) $ を計算すること。
• 古典的リーヒューリング代数の範囲を越えて、より複雑なカルタン型のケースへ変形の理解を拡張すること。
• 単純な有限群スキームの障害空間および半普遍変形空間を同定すること。

提案手法

• 正の特性における単純な有限群スキームの分類を、単純な有限抽象群および単純な制限付きリーヒューリング代数の分類に還元する。
• 正の特性における任意の有限群スキームがエタール群スキームと高さ1の連結群スキームの拡張に分解可能であるという構造定理を用いる。
• 写像 $ G \mapsto G(k) $ を通じてエタール群スキームと有限抽象群の間の同値関係を適用し、アドジョイント表現を通じて高さ1の群スキームと制限付きリーヒューリング代数の間の同値関係を適用する。
• 第二制限付きコホモロジー群 $ H^2_{*}(rak{g}, rak{g}) $ を用いて無限小変形を計算し、これは $ rak{g} $ に対応する群スキームの変形をパラメトライズする。
• 特に低次の群に対して、制限付きコホモロジーと通常のリーヒューリング代数コホモロジーとの関係を示すスペクトル系列を用いる。
• 既知の古典的リーヒューリング代数の剛性結果を用い、[34]における明示的なコホモロジー計算を通じて、それらをカルタン型代数へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的に閉じた正の特性の体上の単純な有限群スキームは、その基盤となる有限抽象群および制限付きリーヒューリング代数によって分類可能か？
• RQ2 カルタン型の単純な制限付きリーヒューリング代数に対応する群スキームは、非自明な無限小変形を許容するか？
• RQ3 カルタン型の単純な制限付きリーヒューリング代数に対して第二制限付きコホモロジー群 $ H^2_{*}(rak{g}, rak{g}) $ の次元は何か？
• RQ4 カルタン型群スキームの変形空間は、古典的型群スキームのそれとどのように異なるか？
• RQ5 単純な有限群スキームに対して、障害空間 $ H^3(G, rak{g}) $ および半普遍変形空間を計算可能か？

主な発見

• 単純な有限群スキームの分類は、正の特性における単純な有限群および単純な制限付きリーヒューリング代数の分類に還元される。
• 単純な有限群および古典的型リーヒューリング代数に対応する群スキームは、特性 $ p \geq 5 $ では剛性を示すが、$ p = 2,3 $ ではそうではない。
• カルタン型リーヒューリング代数に対して、第二制限付きコホモロジー群 $ H^2_{*}(rak{g}, rak{g}) $ は非自明であり、非自明な無限小変形の存在を示唆する。
• 明示的な次元が計算され、$ h^2_*(W(m;\underline{1}), W(m;\underline{1})) = m $、$ h^2_*(S(m;\underline{1}), S(m;\underline{1})) = m $、$ h^2_*(H(2r;\underline{1}), H(2r;\underline{1})) = 2r+1 $、$ h^2_*(K(2r+1;\underline{1}), K(2r+1;\underline{1})) = 2r+1 $、および $ h^2_*(M(1,1), M(1,1)) = 5 $ が得られる。
• カルタン型代数の第二コホモロジー群の生成子が明示的に構成される。
• 結果から、カルタン型群スキームの変形は非自明であり、古典的型群スキームのそれよりも構造的に豊かであると示唆される。