[論文レビュー] Simple formula for leading $SU(3)$ irreducible representation for nucleons in an oscillator shell

V. K. B. Kota|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2018

Advanced NMR Techniques and Applications被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、1つのオシレーター殻内の核子におけるSU(3)の主要な不変部分表現 (λ_H, μ_H) を決定するシンプルな解析的公式を提示する。U(N) ⊃ SU(3) の還元において、N = (η+1)(η+2)/2 を用い、単粒子軌道の占有数に基づくこの公式により、完全な群論的分解を経ることなく、主に縦長形状のSU(3)不変部分表現を迅速に特定可能となる。η = 2 から 6 までの明示的な表計算を提供し、プロキシ-SU(3)スキームにおける陽子-中性子系への応用も示す。

ABSTRACT

Applications of rotational $SU(3)$ symmetry in nuclei, using Elliott's $SU(3)$ or pseudo-$SU(3)$ or proxy-$SU(3)$ model, often need just the lowest or leading $SU(3)$ irreducible representation (irrep) $(\\lambda_H, \\mu_H)$. For nucleons in an oscillator shell $\\eta$, with ${\\cal N}=(\\eta +1)(\\eta +2)/2$, we have the algebra $U(r{\\cal N}) \\supset [U({\\cal N}) \\supset SU(3)] \\otimes SU(r)$; $r=2$ when there are only valence protons or neutrons and $r=4$ for nucleons with isospin $T$. Presented in this paper is a simple general formula for the leading $SU(3)$ irrep $(\\lambda_H, \\mu_H)$ in any given irrep $\\{f\\}$ of $U({\\cal N})$. Results are provided for $(\\lambda_H, \\mu_H)$ irreps for $\\eta$ values of interest in nuclei and for this for all allowed particle numbers. These results clearly show that prolate shape dominates over oblate shape in the shell model $SU(3)$ description.

研究の動機と目的

• 1つのオシレーター殻内の核子におけるU(N)不変部分表現の還元における、主要なSU(3)不変部分表現 (λ_H, μ_H) の閉形式解析的公式を導出すること。
• 核模型およびプロキシ-SU(3)応用における主要なSU(3)不変部分表現を特定するための、従来のコンピュータコードとは比較的計算負荷の低い代替手法を提供すること。
• さまざまな核子配置における (λ_H, μ_H) の分析を通じて、SU(3)殻模型記述において縦長形状が横長形状を上回る優位性を示すこと。
• 特に重い核におけるプロキシ-SU(3)スキームを想定し、異なるオシレーター殻に存在する価電子陽子と中性子を含む系への公式の拡張を図ること。

提案手法

• オシレーター殻 η における単粒子軌道の占有数 f_i を用い、(n_z, n_x, n_y) = (η−r, r−x, x)（r = 0 から η まで、x = 0 から r まで）の順序で整列させたもとで、(λ_H, μ_H) の一般公式を導出する。
• λ_H と μ_H を、すべての軌道について、それぞれ係数 (η−2r+x) と (r−2x) を用いた占有数 f_i の重み付き和として表現する。
• スピン 1/2 のフェルミオン（核子）m 個が同一である場合のU(N)不変部分表現 {f} に適用し、粒子数が偶数（S=0）か奇数（S=1/2）かに応じて区別する。
• 直接計算による検証と、既知の文献およびコードによる還元結果（例：JPD4, Bona-2）との比較により妥当性を確認した。
• プロキシ-SU(3)スキームで用いられるように、異なる殻に存在する陽子と中性子の主要SU(3)不変部分表現を組み合わせることで、陽子-中性子系への応用を拡張した。
• η = 2 から 6 および m = 2 から N までの表計算結果を提供し、r=2（同一核子）および r=4（陽子-中性子系）の両方の状況における (λ_H, μ_H) を示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1. 1つのオシレーター殻内の核子におけるU(N) ⊃ SU(3) 還元において、主要なSU(3)不変部分表現 (λ_H, μ_H) を決定するシンプルで解析的な公式は何か？
• RQ2 2. 完全な群論的還元コードに依存せずに、主要なSU(3)不変部分表現をどのように計算できるか？
• RQ3 3. 主要なSU(3)不変部分表現は、核スペクトルにおける縦長形状の優位性をどの程度まで予測できるか？
• RQ4 4. 異なるオシレーター殻に存在する陽子と中性子の主要SU(3)不変部分表現は、プロキシ-SU(3)スキームにおいてどのように組み合わさり、核の形状を記述するか？

主な発見

• 本稿では閉形式の公式を導出した：λ_H = Σ_r Σ_x (η−2r+x) × f_{1+x+r(r+1)/2}, μ_H = Σ_r Σ_x (r−2x) × f_{1+x+r(r+1)/2}、これは任意のオシレーター殻 η および占有数配置に対して有効である。
• η = 2 から 6 について、すべての許容される粒子数およびスピン値（偶数 m の場合 S=0、奇数 m の場合 S=1/2）に対して、主要なSU(3)不変部分表現 (λ_H, μ_H) を表にまとめ、迅速な照会を可能にした。
• 結果は一貫して (λ_H, μ_H) が縦長形状のSU(3)不変部分表現に対応しており、殻模型におけるSU(3)記述において縦長形状が横長形状を上回る優位性が確認された。
• 本手法は、既知のプロキシ-SU(3)および擬似-SU(3)スキームの結果（例：20Ne に対して (80)、24Mg に対して (84)）を正確に再現しており、その正確性が裏付けられた。
• 価電子陽子と中性子が異なる殻に存在する陽子-中性子系において、本公式により、レアアースおよびアクチニド核において観察されるように、縦長歪みを促進する (λ_H, μ_H) 組み合わせを予測可能となった。
• 本公式は実装が極めて簡単であり、特に大規模な N に対してまたは主な不変部分表現のみが必要とされる状況では、完全な還元コードに対する信頼できる代替手段を提供する。