[論文レビュー] Simple invariant solutions embedded in 2D Kolmogorov turbulence

Gary J. Chandler, Rich R. Kerswell|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2012

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、2次元コルモゴロフ乱流の長時間直接数値シミュレーション（DNS）から、単純な不変解—正確な再発的流れ—を抽出し、周期軌道理論にインspiredされた原則に基づいて乱流統計を再構築することを提案する。低レイノルズ数（Re=40）では、50個の再発的流れが成功裏に同定され、主に位相空間で最も頻繁に訪問される領域に位置し、エネルギーおよび散逸確率密度関数の合理的な再現が可能であったが、高レイノルズ数ではデータ長が不十分なために手法に失敗する。

ABSTRACT

We consider long simulations of 2D Kolmogorov turbulence body-forced by $\sin4y \ex$ on the torus $(x,y) \in [0,2π]^2$ with the purpose of extracting simple invariant sets or `exact recurrent flows' embedded in this turbulence. Each recurrent flow represents a sustained closed cycle of dynamical processes which underpins the turbulence. These are used to reconstruct the turbulence statistics in the spirit of Periodic Orbit Theory derived for certain types of low dimensional chaos. The approach is found to be reasonably successful at a low value of the forcing where the flow is close to but not fully in its asymptotic (strongly) turbulent regime. Here, a total of 50 recurrent flows are found with the majority buried in the part of phase space most populated by the turbulence giving rise to a good reproduction of the energy and dissipation probability density functions. However, at higher forcing amplitudes now in the asymptotic turbulent regime, the generated turbulence data set proves insufficiently long to yield enough recurrent flows to make viable predictions. Despite this, the general approach seems promising providing enough simulation data is available since it is open to extensive automation and naturally generates dynamically important exact solutions for the flow.

研究の動機と目的

• 2次元コルモゴロフ乱流に埋め込まれた単純な不変解—正確な再発的流れ—を、長時間直接数値シミュレーションを用いて同定すること。
• これらの再発的流れが、低次元カオスにおける周期軌道理論にインスパイアされた形で、乱流の主要統計量を再構築できるかどうかを検証すること。
• 高次元で完全に乱流化した系において、再発的流れを用いた乱流挙動の予測可能性を評価すること。
• シミュレーション長が、特に漸近的乱流状態における抽出可能な再発的流れの数および多様性に与える影響を評価すること。
• 異なるレイノルズ数にわたる再発的流れセットの自動化および外挿可能性の可能性を検討すること。

提案手法

• x方向に単一波数の力（sin(4y)）を加えたトーラス上での2次元コルモゴロフ乱流の長時間直接数値シミュレーション（DNS）を実施する。
• 初期状態に近接して再帰する軌道を検出することで、周期的または再発的挙動の存在を特定する近接再帰検出法を用いる。
• 近似再発的解を正確な不変解（位相空間における閉軌道）に高精度に修正するために、弧長続行法を適用する。
• 各抽出された再発的流れの安定性を評価し、その動的意義および乱流吸引子における潜在的役割を検証する。
• 抽出された再発的流れの集合を用いて、重み付き和を用いてエネルギーおよび散逸確率密度関数などの乱流統計を再構築する。
• 再構築の成否を、再発的流れの性質の重み付き和と、完全なDNS統計とを比較することで評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長時間の2次元コルモゴロフ乱流DNSから正確な再発的流れを信頼性高く抽出できるか？
• RQ2 これらの再発的流れは、エネルギーおよび散逸分布などの乱流の統計的性質をどの程度再現できるか？
• RQ3 抽出可能な再発的流れの数および質は、レイノルズ数およびシミュレーション長にどのように依存するか？
• RQ4 周期軌道理論に基づくアプローチは、2次元乱流のような高次元系における乱流統計の再構築に有効であるか？
• RQ5 抽出された再発的流れを、継続および再重み付けを用いて、異なるレイノルズ数における統計を予測するために利用できるか？

主な発見

• Re=40では、50個の再発的流れが成功裏に抽出され、その大部分が位相空間で最も頻繁に訪問される領域に位置し、エネルギーおよび散逸確率密度関数の合理的な再構築が可能であった。
• Re=40における再構築性能は、支配的位相空間領域における再発的流れの密度に依存する傾向が強く、洗練された重み付けスキームに依存するよりも顕著であった。
• Re=60、80、100では、抽出可能な再発的流れの数が不十分で、有効な統計的予測が不可能であった。主な要因はDNSデータ長の制限に起因する。
• 10^5時間単位のシミュレーション長はRe=40ではやや不足しているが、Re=60以上では2桁以上短いと推定された。
• 高レイノルズ数での成功が限定的であったものの、各抽出された再発的流れは動的に意味のある正確な不変解であり、乱流の背後にある一貫した連続的動的プロセスを表している。
• 本手法は自動化の観点から有望であり、十分に大きな再発的流れの集合が得られれば、原理的には異なるレイノルズ数における統計の予測に拡張可能である。