[論文レビュー] Simple Lie algebras, Drinfeld--Sokolov hierarchies, and multi-point correlation functions

Marco Bertola, Boris Dubrovin+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2016

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 33被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、単純リー代数に付随するDrinfeld–Sokolov階層のtau関数の対数微分を計算するための新規アルゴリズムを提示する。この手法は、$σ$-値をとる解体に着目する。主な結果として、最低重量ゲージにおける位相的解において、ゼロで評価された解体が位相的ODEを満たすことが示され、可積分系とGromov–Witten理論およびFJRW理論を、$λ$の逆数の級数展開を通じて明示的に結びつける。この方法により、留数計算と階数付きリー代数構造を用いて、多点相関関数およびtau関数の体系的計算が可能となる。

ABSTRACT

For a simple Lie algebra $\mathfrak{g}$, we derive a simple algorithm for computing logarithmic derivatives of tau-functions of Drinfeld--Sokolov hierarchy of $\mathfrak{g}$-type in terms of $\mathfrak{g}$-valued resolvents. We show, for the topological solution to the lowest-weight-gauge Drinfeld--Sokolov hierarchy of $\mathfrak{g}$-type, the resolvents evaluated at zero satisfy the $ extit{topological ODE}$.

研究の動機と目的

• 単純リー代数のDrinfeld–Sokolov階層におけるtau関数の対数微分を体系的に計算するための方法を開発すること。
• 最低重量ゲージにおける、ゼロで評価された解体と位相的ODEとの直接的な関係を確立すること。
• 階数付きリー代数構造と留数計算を用いて、多点相関関数およびtau関数の明示的公式を提供すること。
• 位相的ODEを介してDrinfeld–Sokolov階層を位相的場理論、特にFJRW理論と結びつけること。

提案手法

• 著者らは、主な冪零元 $\Lambda = I_+ + \lambda E_{-\theta}$ の随伴作用を用いて、$L(σ) = σ ⊗ ℂ[\lambda, \lambda^{-1}]$ における$σ$-値をとる解体を定義する。
• 解体を用いて、tau関数の対数微分を計算するアルゴリズムを導出する。この際、$\mathrm{Ker}\,\mathrm{ad}_\Lambda = \bigoplus_{j \in E} \mathbb{C} \Lambda_j$ という分解 $E = \bigsqcup_{i=1}^n (m_i + h\mathbb{Z})$ を利用する。
• $L(σ)$ における主な順序付けを用い、$\deg \lambda = h$、$\deg E_i = -\deg F_i = 1$、$\deg \Lambda = 1$ と定義することで、ループ代数を同次部分空間に分解する。
• 最低重量ゲージへのゲージ固定により、解体構造を用いて位相的ODEを導出する。正規化として $\Lambda_1 = \Lambda$ および $\Lambda_{m_a + kh} = \Lambda_{m_a} \lambda^k$ を用いる。
• $L(σ)$ への$σ$ 上の正規化されたカルタン–キリング形式 $(\cdot|\cdot)$ の拡張と、$\mathrm{Ker}\,\mathrm{ad}_\Lambda \perp \mathrm{Im}\,\mathrm{ad}_\Lambda$ の直交性により、適切に定義された射影が保証される。
• 行列成分 $(-M_1)^i_j$ および $(-M_2)^i_j$ の明示的級数展開を、$\lambda^{-1}$ における漸近展開とガンマ関数を用いて導出する。この展開は $g \geq 0$ に対して有効である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ループ代数における解体を用いて、Drinfeld–Sokolov tau関数の対数微分をどのように体系的に計算できるか。
• RQ2 最低重量ゲージにおける、ゼロで評価された解体と位相的ODEとの正確な関係は何か。
• RQ3 DS階層の多点相関関数は、Gromov–Witten理論およびFJRW理論の不変量とどのように関係するか。
• RQ4 解体とその射影を用いて、Drinfeld–Sokolov階層の構造を完全に特徴づけられるか。
• RQ5 σ = A_2 の場合、$λ$-展開およびガンマ関数を用いた位相的ODEの明示的形は何か。

主な発見

• Drinfeld–Sokolov階層のtau関数の対数微分は、$σ$-値をとる解体のトレースとして表現され、計算のためのアルゴリズム的手法が得られる。
• 最低重量ゲージにおける位相的解において、ゼロで評価された解体が位相的ODEを満たすことが確認され、可積分系と位相的場理論との間の深い関係が裏付けられる。
• 行列成分 $(-M_1)^i_j$ および $(-M_2)^i_j$ について、ガンマ関数を用いた明示的級数展開が導出され、$g \geq 0$、$r \in \{1,4,7,10,13,16,19,22\}$ に対して $\lambda^{-\frac{24g + r}{3}}$ の項が含まれる。
• 正規化 $\bigl{(}\Lambda_{m_a}|\Lambda_{m_b}\bigr{)} = h \eta_{ab} \lambda$ および $\eta_{ab} = \delta_{a+b,n+1}$ により、解体構造と位相的ODEの両方における一貫性が保証される。
• 位相的ODEは、$λ^{-1}$ の無限級数を係数にもつ$λ$に関する微分方程式系として実現され、ガンマ関数の積と有理数係数を含む。
• σ = A_2 の場合、行列成分 $(-M_1)^i_j$ および $(-M_2)^i_j$ は、$g \geq 0$ における和として明示的に計算され、$\Gamma(8g + r/3) / (12^{3g} g! \Gamma(g + s/3)) \lambda^{-\frac{24g + r}{3}}$ の形の項、$r$ および $s$ は成分に依存する。