[論文レビュー] Simple model of bouncing ball dynamics. Displacement of the limiter assumed as a cubic function of time

Andrzej Okniński, B. Radziszewski|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2012

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、時間の周期的立方関数としての変位を示すリミッターと衝突する跳ね返るボールの解析的取り扱い可能なモデルを提示する。これにより、衝突時刻と力学的挙動の正確な計算が可能となる。主な貢献は、チャタリングおよびグラージングの条件の解析的導出であり、固定点の周期倍分岐に続くコーナー型分岐を経て、カオス的バンドが発生することを示している。

ABSTRACT

Nonlinear dynamics of a bouncing ball moving vertically in a gravitational field and colliding with a moving limiter is considered and the Poincare map, describing evolution from an impact to the next impact, is described. Displacement of the limiter is assumed as periodic, cubic function of time. Due to simplicity of this function analytical computations are possible. Several dynamical modes, such as fixed points, 2 - cycles and chaotic bands are studied analytically and numerically. It is shown that chaotic bands are created from fixed points after first period doubling in a corner-type bifurcation. Equation for the time of the next impact is solved exactly for the case of two subsequent impacts occurring in the same period of limiter's motion making analysis of chattering possible.

研究の動機と目的

• 周期的に動くリミッターを有する跳ね返るボールのシンプルでありながら解析的に解けるモデルの構築を目的とする。
• 標準的な正弦関数的リミッターモデルにおける衝突時刻方程式の取り扱いにくさを克服するため、立方関数的変位関数を用いる。
• 非滑らか力学系におけるチャタリング、グラージング、カオスといった複雑な力学的挙動の解析的調査を可能にする。
• 1つのリミッターパリオド内での複数衝突の正確な条件を導出し、その安定性を分析する。
• 特に周期倍分岐に続くコーナー型分岐を経て、カオスの発生を分岐解析によって特徴付ける。

提案手法

• 解析的取り扱いを可能にするために、リミッターの変位を周期的立方関数 $ Y_c(T) = 12\tilde{T}(\tilde{T} - 1/2)(\tilde{T} - 1) $ としてモデル化する。ここで $ \tilde{T} = T - \lfloor T \rfloor $ である。
• 無次元重力 $ \gamma $ と復元係数 $ R $ を用いて、衝突後の速度 $ V_i $ と衝突時刻 $ T_i $ を関係付けるパンカルエ地図（2.1）を構築し、$ \Delta_{i+1} = T_{i+1} - T_i $ を定義する。
• 一定加速度下での運動方程式を二次方程式として解くことにより、次の衝突時刻 $ \Delta_{i+1} $ の正確な解析的表現を導出し、閉形式の非線形写像（3.12c,d）を導出する。
• グラージングおよびチャタリングの解析を容易にするために、相対速度変数 $ v_i = V_i - G(3T_i^2 - 3T_i + 1/2) $ を導入する。
• $ \lambda_i < 1 $ の条件下で収束を保証するため、漸近的展開（3.14）と近似写像（3.16）を用いて、チャタリングの最終段階をモデル化する。
• $ T_{(\infty)} < 1 $ を解くことにより、グラージング（1周期内に無限回の衝突）の条件を導出し、$ T_B < T_i < T_C $ の範囲（式 (3.21)–(3.22)）を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 立方関数的リミッター変位関数の使用が、跳ね返るボール系における衝突時刻の解析的計算をどのように可能にするか？
• RQ2 1つのリミッターパリオド内での複数衝突（チャタリング）が発生する条件は何か？ その解析的特徴づけは可能か？
• RQ3 カオス的バンドはどのようにして発生し、それらの形成を裏付ける分岐機構は何か？
• RQ4 グラージング多様体は力学的挙動にどのように寄与するか？ また、チャタリングの安定性および収束性に与える影響は？
• RQ5 チャタリング中の $ N $ 番目の衝突時刻について、正確または近似の解析的表現を導出可能か？

主な発見

• カオス的バンドは、最初の周期倍分岐に続くコーナー型分岐を経て、固定点から生じる。$ R = 0.85 $ および $ \gamma \in [0, 0.06] $ の分岐図により、これを確認した。
• 次の衝突時刻 $ \Delta_{i+1} $ は二次方程式の解法により正確に計算され、閉形式の非線形写像（3.12c,d）が得られ、完全な解析的取り扱いが可能になった。
• チャタリングは近似式（3.16）により解析的にモデル化され、$ \Delta_{i+1} \approx \frac{2v_i}{-3G + 2 + 6GT_i} $ が得られ、$ \lambda_i < 1 $ の条件下で収束が保証される。
• グラージング多様体は $ T_* \geq \max(T_{cr}, 0) $ のときのみ存在し、ここで $ T_{cr} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3G} $ である。1方向では安定で固有値 $ \Lambda_1 = 1 $、他方では中立的である。
• 無限回の衝突（グラージング）の条件は $ \max(T_{A_1}, T_{A_2}, T_B) < T_i < T_C $ として導出され、$ T_B $ および $ T_C $ はそれぞれ式 (3.21) および (3.22) で与えられ、$ T_{(\infty)} < 1 $ を満たす。
• チャタリング中の $ N $ 番目の衝突時刻は正確に $ T_{(N)} = T_i + \frac{2v_i}{-3G + 2 + 6GT_i} \cdot \frac{1 - R^N}{1 - R} $ として計算され、衝突間隔の指数的減衰が示された。