[論文レビュー] Simple models of bouncing ball dynamics and their comparison

Andrzej Okniński, B. Radziszewski|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2010

Sports Dynamics and Biomechanics参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、正弦波的テーブル運動の2次および3次多項式近似を用いて、周期的に動くテーブルと跳ね返るボールの解析的モデルを簡略化し、衝突時刻の解析的計算を可能にする。3次モデル $ Y_{c_2}(T) $ は、正弦波系における分岐構造、特に混沌とへの完全な周期倍増分岐系列を非常によく再現しており、3次代数方程式による衝突時刻の解法を維持しているため、振動衝突系における複雑な非線形力学の研究の実用的代替手段を提供する。

ABSTRACT

Nonlinear dynamics of a bouncing ball moving in gravitational field and colliding with a moving limiter is considered. Several simple models of table motion are studied and compared. Dependence of displacement of the table on time, approximating sinusoidal motion and making analytical computations possible, is assumed as quadratic and cubic functions of time, respectively.

研究の動機と目的

• 正弦波運動を近似できるが、衝突時刻の解析的計算が可能なテーブル運動の簡略化されたが精度の高いモデルを開発すること。
• これらのモデルのダイナミクス的挙動（特に分岐構造）を、標準的な正弦波的テーブル運動のケースと比較すること。
• 正弦波系で観察される周期倍増分岐や混沌的ダイナミクスといった重要な非線形特徴を保持する多項式ベースのモデルを同定すること。
• 次回の衝突時刻を求める方程式が解析的に解けることを保証し、系の非線形力学に関するより深い理論的分析を可能にすること。

提案手法

• 衝突間のボールの運動は、重力下でのニュートンの運動法則に従い、衝突は復元係数 $ R $ を用いてモデル化される。
• Poincaré写像は、式 (5a) と (5b) を用いて構築され、テーブルの変位 $ Y(T) $ を介して、連続する衝突における時刻と速度を関連付ける。
• 正弦波的テーブル運動の3つの多項式近似が導入される：区分的2次関数 $ Y_q(T) $、滑らかな3次関数 $ Y_{c_1}(T) $、4区分の3次関数 $ Y_{c_2}(T) $、いずれも周期1の周期関数である。
• 次の衝突時刻 $ T_{i+1} $ は、式 (5a) から導かれる3次代数方程式を解くことで決定され、解析的取り扱いが保証される。
• 各モデルについて、周期的軌道、周期倍増、混沌的ダイナミクスの出現を比較するための分岐図が計算される。
• モデルは、正弦波系で観察された完全な周期倍増分岐から混沌への遷移を再現できるかという観点で評価される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正弦波的テーブル運動の多項式近似は、標準的なバウンシングボール系で観察される複雑な分岐構造、特に周期倍増分岐を保持できるか？
• RQ2 2次、3次、または区分的3次モデルの中で、どのモデルが正弦波的テーブル運動のダイナミクス的挙動を最も正確に再現するか？
• RQ3 多項式的テーブル変位の使用により、正弦波系と同等のダイナミクス的忠実性を保ちながら、衝突時刻の解析的計算が可能になるか？
• RQ4 多項式モデルの分岐図は、正弦波系の分岐図と比較して、安定性遷移や混沌的バンドの点でどのように異なるか？

主な発見

• 区分的2次モデル $ Y_q(T) $ は、1回の周期倍増のみを示し、混沌的バンドは存在せず、正弦波系とは顕著に異なる。
• 滑らかな3次モデル $ Y_{c_1}(T) $ は完全な周期倍増分岐から混沌への遷移を示すが、一部の分岐経路が急激に終了し、安定性の順序が正弦波基準とは異なる。
• 4区分の3次モデル $ Y_{c_2}(T) $ は、正弦波系と視覚的および構造的に非常に類似した分岐図を生成し、完全な周期倍増分岐と混沌的バンドを含む。
• $ Y_{c_2}(T) $ モデルにおける次回の衝突時刻を求める方程式は3次代数方程式であり、解析的に解ける一方で、複雑な非線形ダイナミクスを保持している。
• 提案されたモデルの中で、$ Y_{c_2}(T) $ のみが、周期倍増による混沌の発生を含む、正弦波系の主要なダイナミクス的特徴を的確に再現している。