[論文レビュー] Simple non-Hamiltonian systems with an invariant measure

A. V. Tsiganov|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2012

Control and Dynamics of Mobile Robots参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、正準ポアソン括弧の変形と時間再パrameter化を用いて、不変測度を持つ単純な非ハミルトニアン系の構成を提示する。主な結果は、非ホロノミックな Veselova および Chaplygin 系が、球面上のハミルトニアン系と軌道的に等価であることを示しており、これによりそれらの可積分性および Chaplygin 変換の適用可能性が説明される。

ABSTRACT

We propose a simple construction of the non-Hamiltonian dynamical systems possessing an invariant measure. These non-Hamiltonian systems are deformations of the Hamiltonian systems associated with trivial deformations of the canonical Poisson brackets and time transformation. Sometimes these non-Hamiltonian systems can be identified with known nonholonomic systems and, therefore, the results are illustrated through the Chaplygin ball and the Veselova system.

研究の動機と目的

• 不変測度を有する単純な非ハミルトニアン力学系を構成すること。
• 時間再パrameter化と正準ポアソン括弧の変形が、ハミルトニアン系からこのような系を生成する方法を示すこと。
• 非ホロノミックな Veselova および Chaplygin 系と、球面上のハミルトニアン系との間の軌道的等価性を確立すること。
• 可積分な非ホロノミック系の文脈における Chaplygin 変換の幾何学的・力学的起源を明確にすること。

提案手法

• 運動量を $ p_k \to g(q)p_k $ とスケーリングすることで正準ポアソン括弧を変形し、非正準な構造定数を有する新たなポアソン構造 $ \{.,.\}_g $ を得る。
• 時間再パrameter化 $ dt_d = g(q) dt_g $ を導入し、ハミルトニアン流を共形ハミルトニアン系に変換し、新たなベクトル場 $ \widetilde{Z} = g(z)Z $ を得る。
• 変換後の非ハミルトニアン系が、変換のヤコビアンから得られる測度 $ \mu_d = g^{1-n} dq\,dp $ を不変測度として持つことを示す。
• Veselova および Chaplygin 系にこの手法を適用し、球面上の変形ハミルトニアン系とのポアソン括弧および不変測度の一致を特定する。
• 座標変換 $ M \to K $ と時間変更を用いて Veselova 系を $ e^*(3) $ 上のハミルトニアン系に関連付け、軌道的等価性を達成する。
• パramータ関係 $ \hat{a}_i = 1 - d a_i $ の下で、Veselova 系と Chaplygin 系のポアソン括弧および不変測度が一致することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ハミルトニアン系に不変測度を有する系を、変形と時間再パrameter化を用いてハミルトニアン系から体系的に構成可能か？
• RQ2 正準ポアソン括弧の変形と時間の変更が、不変測度の存在およびその形にどのように影響するか？
• RQ3 非ホロノミックな Veselova および Chaplygin 系の間の幾何学的・力学的関係は何か？
• RQ4 変数変換と時間の変更によって、非ハミルトニアン系がハミルトニアン系と関連づけられる条件は何か？
• RQ5 Chaplygin 変換が Veselova 系に適用可能な理由は何か？その背後にある幾何学的起源は何か？

主な発見

• 変換 $ p_k \to g(q)p_k $ および $ dt_d = g(q)dt_g $ を用いて得られる非ハミルトニアン系は、不変測度 $ \mu_d = g^{1-n} dq\,dp $ を有し、元のハミルトニアン流の軌道を保存する。
• 変換後の系は共形ハミルトニアン系であり、ベクトル場 $ \widetilde{Z} = g(z)Z $ を有する。元のベクトル場が完全であれば、$ \widetilde{Z} $ は新たなポアソン括弧 $ \{.,.\}' $ に関してハミルトニアンである。
• パramータ $ (\omega, x) = b \in \mathbb{R} $ を持つ一般化された Veselova 系に対して、$ (x,K) $-座標系における不変測度は $ \mu_v = \hat{g}^{-1} dx\,dK $ であり、ここで $ \hat{g}(x) = (x, \hat{\mathbf{A}}x)^{1/2} $ である。
• パラメータ関係 $ \hat{a}_i = 1 - d a_i $ の下で、Veselova 系のポアソン括弧 $ \{.,.\}_v $ は Chaplygin 球のもの $ \{.,.\}_g $ と一致し、構造的等価性が確立される。
• 条件 $ c = 0 $ の下で、Veselova 系は球面上のハミルトニアン系と軌道的に等価であり、積分は $ \hat{H}_1 = \widetilde{H}_2 - d\widetilde{H}_1 $、$ \hat{H}_2 = \widetilde{H}_2 $ の関係にある。
• Veselova 系、Chaplygin 系、および球面上のハミルトニアン系の三つは、同一のラグランジュ的 foliation と未パラメータ化された軌道を共有しており、それらの軌道的等価性が確認される。