[論文レビュー] Simple permutations and algebraic generating functions

Robert Brignall, Sophie Huczynska+1 more|ArXiv.org|Aug 15, 2006

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 28被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、AlbertとAtkinsonの結果である『単純置換が有限個の置換クラスは代数的母関数を持つ』を拡張し、偶置換、対合、交互置換、および遮断的またはブロック付きパターンを避けるなどの追加の構造的制約によって定義される部分クラスに対しても、同様に代数的母関数が得られることを証明している。主な貢献は、置換の置換分解と代数的母関数を用いた、これらの部分クラスを数える一般化された枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

A simple permutation is one that does not map a nontrivial interval onto an interval. It was recently proved by Albert and Atkinson that a permutation class with only finitely simple permutations has an algebraic generating function. We extend this result to enumerate permutations in such a class satisfying additional properties, e.g., the even permutations, the involutions, the permutations avoiding generalised permutations, and so on.

研究の動機と目的

• 単純置換が有限個の置換クラスにおけるAlbertとAtkinsonの代数的母関数に関する結果を一般化すること。
• 偶置換、対合、交互置換、遮断パターン回避などの追加の置換性質が、代数的母関数をもたらすかどうかを特定すること。
• 単純置換が有限個しかない置換クラス内でのこれらの部分クラスを統一的に数えるための方法を確立すること。
• 置換クラスのより広範な組合せ的部分クラスにおける母関数の代数的性の理論的基盤を提供すること。
• 与えられた置換クラスが単純置換を有限個しか含まないかどうかが決定可能であるかどうかを扱い、結果のアルゴリズム的応用を可能にすること。

提案手法

• 置換クラスの構造を分析するために、置換の置換分解（モジュラー分解）を活用する。
• 非自明な区間を持たない置換（単純置換）の概念を適用し、置換クラスを分類・分解する。
• AlbertとAtkinsonが確立したように、単純置換が有限個のクラスは代数的母関数を持つという事実を用いる。
• この結果を拡張し、偶置換、対合、交互置換などの追加性質によって定義される部分クラスの母関数が代数的であることを示す。
• 対合や分離可能な置換などの部分クラスをモデル化するために、母関数の再帰的システムを用い、代数方程式による解法を実施する。
• SchmerlとTrotterの定理（より短い単純置換の存在）を用いて、クラス内の単純置換の数を上限付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純置換が有限個の置換クラスにおいて、母関数の代数的性が、追加の構造的制約によって定義される部分クラスへも拡張されるか？
• RQ2 このようなクラスにおける偶置換、対合、交互置換、遮断パターン回避置換の母関数が代数的であることを証明できるか？
• RQ3 有限基底を持つ置換クラスが単純置換を有限個しか含まないかどうかが決定可能か？
• RQ4 置換の置換分解とその母関数の代数的性の間の関係は何か？
• RQ5 なぜ一部の部分クラス（例：置換のない置換）は同じ枠組みで捉えられないのか、代数的性を妨げる構造的性質は何か？

主な発見

• 単純置換が有限個の置換クラスは、クラス自体についてだけでなく、偶置換、対合、交互置換、遮断的またはブロック付き置換を避けるなどの性質によって定義される部分クラスに対しても代数的母関数を持つ。
• 分離可能な対合の母関数は、四次方程式 $x^{2}f^{4}+(x^{3}+3x^{2}+x-1)f^{3}+(3x^{3}+6x^{2}-x)f^{2}+(3x^{3}+7x^{2}-x-1)f+x^{3}+3x^{2}+x=0$ を満たす。
• $ \operatorname{Av}(132)$ 内の有限個のブロック付きまたは遮断付き置換を避ける置換の母関数は代数的である。
• クラス $ \operatorname{Av}(132)$ には単純置換が3つしかない：$1$、$12$、$21$ であり、これはさまざまな制約下での母関数の代数的性を裏付ける。
• $ \operatorname{Av}(1324,2143,4231)$ の長さ1から7までの単純置換の数はそれぞれ $1,2,0,2,4,0,0$ であり、長さ6または7の単純置換が存在しないことから、クラスにそれ以上の単純置換は含まれないことが示される。
• Brignall、Ruškuc、Vatterが示したように、有限基底を持つ置換クラスが単純置換を有限個しか含まないかどうかは決定可能である。