[論文レビュー] Simple prolongs of the non-positive parts of graded Lie algebras with Cartan matrix in characteristic 2

Sofiane Bouarroudj, Pavel Grozman+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 34被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、特徴的2の下で、Cartan行列を持つ階数付きLie代数の非正部分の単純な延長を、一般化されたCartan延長を用いて考察し、新しい例外的単純Lie代数を構成する。いくつかの新規な系列を同定し、その中には例外的Lie代数 $\mathfrak{ir}(9;\underline{N})$ 及びその超対称化が含まれ、複素数の例外的ベクトル場的Lie超代数の特徴的2版のdesuperizationにより、隠れた超対称性が明らかにされる。

ABSTRACT

Over an algebraically closed fields, an alternative to the method due to Kostrikin and Shafarevich was recently suggested. It produces all known simple finite dimensional Lie algebras in characteristic p>2. For p=2, we investigate one of the steps of this method, interpret several other simple Lie algebras, previously known only as sums of their components, as Lie algebras of vector fields. One new series of exceptional simple Lie algebras is discovered, together with its "hidden supersymmetries". In characteristic 2, certain simple Lie algebras are "desuperizations" of simple Lie superalgebras. Several simple Lie algebras we describe as results of generalized Cartan prolongation of the non-positive parts, relative a simplest (by declaring degree of just one pair of root vectors corresponding to opposite simple roots nonzero) grading by integers, of Lie algebras with Cartan matrix are "desuperizations" of characteristic 2 versions of complex simple exceptional vectorial Lie superalgebras. We list the Lie superalgebras (some of them new) obtained from the Lie algebras considered by declaring certain generators odd. One of the simple Lie algebras obtained is the prolong relative to a non-simplest grading, so the classification to be obtained might be more involved than we previously thought.

研究の動機と目的

• 特徴的2における単純な有限次元Lie代数を、$p > 2$ を超えてKostrikin–Shafarevich法を拡張することで分類すること。
• これまで成分形式でのみ記述されていたLie代数を、ベクトル場の代数として解釈すること。
• Cartan行列を持つLie代数の非正部分の一般化されたCartan延長を通じて、新しい単純Lie代数を同定すること。
• desuperizationにより、Lie超代数の対応物を構築することで、これらのLie代数に隠れた超対称性を明らかにすること。
• 非単純な順位付けにおける延長の構造を調査し、従来の仮定を超える可能性のある複雑さを示唆すること。

提案手法

• 整数順位付けの下で、サイズ $\leq 4$ の非分解可能Cartan行列 $A$ を持つLie代数 $\mathfrak{g}(A)$ の非正部分に一般化されたCartan延長を適用する。
• Lie超代数をLie代数に変換するdesuperization関手 $\mathbf{F}$ を用い、特徴的2における既知および新規の単純Lie代数を回復する。
• 新しい例外的Lie代数を $\mathfrak{wk}(4;a)$ 及び $\mathfrak{wk}'(3;a)/\mathfrak{c}$ の延長として同定し、それらを複素数の例外的ベクトル場的Lie超代数の特徴的2版のdesuperizationとして解釈する。
• 成分を $\mathfrak{g}_0$-加群に分解し、非可約構造を同定することで、延長の構造を分析する。
• SuperLieパッケージによるコンピュータ支援計算を用い、記号計算の制限を考慮して延長を計算する。
• 調和的および双対部分空間を通じた多項式成分とGrassmann成分の接合により、Lie代数の明示的実現をベクトル場の代数として構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴的2におけるCartan行列を持つLie代数の非正部分の延長として、どのような新しい単純Lie代数が生じるか？
• RQ2 これまで成分形式でのみ記述されていたLie代数、例えばBrownの系列などは、どのようにベクトル場の代数として解釈できるか？
• RQ3 構築されたLie代数に隠れた超対称性とは何か？それらはLie超代数構造からどのように生じるか？
• RQ4 延長およびdesuperizationを用いることで、Kostrikin–Shafarevich法を超えて、特徴的2における単純Lie代数の分類を拡張可能か？
• RQ5 非単純な順位付けは、得られる延長の構造および単純性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 新しい例外的単純Lie代数 $\mathfrak{ir}(9;\underline{N})$ が発見され、その超対称化として $\mathfrak{ir}(3;\underline{N}|6)$ 及び $\mathfrak{ir}(5;\underline{N}|4)$ が得られ、$\underline{N} = (1,\dots,1)$ のとき、それぞれ $\mathfrak{o}_{\Pi}'(8)/\mathfrak{c}$、$\mathfrak{o}_{\Pi}'(2|6)/\mathfrak{c}$、$\mathfrak{o}_{\Pi}'(4|4)/\mathfrak{c}$ に還元される。
• $\mathbf{F}(\mathfrak{mb}(3;\underline{N}|8))$ は、パrameter $a$ に依存しない $\mathfrak{wk}(4;a)$ の独立した延長であることが同定された。
• 反括弧またはButtin超代数の主な変形は、特定のCartan行列および順位付けの下で $\mathfrak{wk}'(3;a)/\mathfrak{c}$ の延長として実現される。
• Brown代数 $D_4(3;\underline{N})$ は、$\underline{N}$ に特定の制約を課すと $\mathbf{F}(\mathfrak{vle}(3;\underline{N}|8))$ と同型であることが示されたが、一般の場合にはより包括的である。
• $\mathfrak{wk}^\prime(3;a)/\mathfrak{c}$ の延長は、非単純な順位付けの下で反括弧超代数の新しい実現をもたらす。
• 特定の生成子を奇数とみなすことで得られるLie超代数を同定することで、隠れた超対称性が明示的に明らかになり、desuperization構造が確認された。