[論文レビュー] Simple remedy for spurious states in discrete k(dot)p models of semiconductor structures

William R. Frensley, Raja N. Mir|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2014

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、2次形式における非単調な分散関係に起因する偽の状態（スプurious states）を除去するために、離散k·pモデルにおける標準的な中心差分離散化を、1次上流有限差分スキームに置き換える手法を提案する。この手法は物理的対称性を保持し、連続体バンド構造への忠実度を向上させ、絶対安定性を保証し、高波数の振動解を放棄することなく、精度を損なわない。

ABSTRACT

The spurious states found in numerical implementations of envelope function models for semiconductor heterostructures and nanostructures are artifacts of the use of the centered-difference formula. They are readily removed by employing a first-order difference scheme. The technique produces none of the loss of accuracy that is commonly feared from lower-order formulations; the fidelity to the continuum band structure is actually improved. Moreover the stability is absolute, thus no adjustments to the model parameters are required. These properties are demonstrated in an explicit calculation of a 3-band model of a semiconductor superlattice.

研究の動機と目的

• 半導体ヘテロ構造およびナノ構造の数値的k·pモデルにおける、長年の偽の状態の問題に対処すること。
• k·p離散化において中心差分が精度およびエルミート性を確保するために不可欠であるという一般的な信念に挑戦すること。
• 1次非対称差分が、物理的対称性および安定性を維持しつつ、偽の解を除去できることを示すこと。
• 1次差分スキームが単調なバンド分散を生じさせ、2次中心差分の逆進的挙動（retrograde behavior）を回避できることを示すこと。
• 微調整や複雑な修正を必要としない、パラメータフリーの強固な代替手法を提供すること。

提案手法

• 標準的な中心差分勾配演算子 $\hat{K}_C$ を、$\hat{K}_L f_n = -i/\Delta (f_n - f_{n-1})$ および $\hat{K}_R f_n = -i/\Delta (f_{n+1} - f_n)$ で定義される1次上流演算子 $\hat{K}_L$ と $\hat{K}_R$ に置き換える。
• 恒等式 $\hat{K}_L \hat{K}_R = \hat{K}_R \hat{K}_L = \hat{L}$ を用い、ここで $\hat{L}$ は離散ラプラシアンである。これにより2次項の運動エネルギーの整合性が保証される。
• 標準的な $\hat{K}_C$ に基づく形式とは異なり、$\hat{H}_1 = \begin{bmatrix} E_C & \hat{K}_R P \\ P \hat{K}_L & E_V \end{bmatrix}$ を用いて離散ハミルトニアンを構築する。
• 得られる分散関係 $K_{L,R}(k)$ は複素数値であり、$K_C(k) = \frac{1}{\Delta} \sin(k\Delta)$ と同様に実数値であるが、$k = \pm \pi/\Delta$ で偽のゼロを持たない。
• 2バンドおよび3バンドk·pモデルを用いて、1次および2次形式のバンド構造を比較し、1次形式では単調性が保たれ、偽の状態が存在しないことを示す。
• 3バンドスーパーラティスモデルを用いた検証により、波動関数に高波数の振動が見られず、エネルギー帯が単調であることが確認された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ中心差分近似を用いた離散k·pモデルに偽の状態が現れるのか？
• RQ2 1次差分スキームは、精度や対称性を損なわずに偽の状態を除去できるのか？
• RQ3 1次差分と中心差分の勾配演算子の分散関係は、バンド構造にどのように影響を与えるか？
• RQ4 1次差分スキームは、さまざまな半導体材料およびバンドモデルにおいて安定的かつ正確に機能するのか？
• RQ5 1次差分スキームは、非対称離散化のアーティファクトを回避しつつ、物理的対称性を保持できるのか？

主な発見

• 1次上流差分スキームは、中心差分形式における非単調分散関係に起因する偽の高波数状態を完全に除去する。
• 1次スキームの分散関係 $|K_{L,R}| = \frac{1}{\Delta} \sqrt{2 - 2\cos(k\Delta)}$ は単調であり、中心差分の $K_C(k) = \frac{1}{\Delta} \sin(k\Delta)$ よりも真の $k$-依存性に近い。
• 1次形式は2バンドおよび3バンドモデルの両方で単調なエネルギー帯を生成するが、中心差分形式では逆進的（非単調）な挙動を示す。
• 1次スキームで計算された波動関数には高波数の振動が見られず、中心差分スキームではエネルギー隙間以外ではこのようなアーティファクトが顕著に現れる。
• 他の手法とは異なり、パrameter調整を必要とせず、条件を満たすにかかわらず、絶対安定性を有する。
• 1次スキームは物理的対称性および連続体バンド構造への忠実度を保持しており、メソスコピック半導体モデルの文脈において、2次スキームよりも高い精度を達成する。