[論文レビュー] Simple Round Compression for Parallel Vertex Cover

Sepehr Assadi|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2017

Parallel Computing and Optimization Techniques参考文献 10被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、各マシンあたりO(n)のメモリを用いて、O(log log n)ラウンドで最小頂点被覆のO(log n)近似を達成する確率的MPCアルゴリズムを提示する。最大マッチングから頂点被覆へのラウンド圧縮技術を適応することで、従来の手法を単純化し、ランダムな頂点分割と各マシンでの局所計算を用いた段階的剥がしプロセスにより、大規模グラフにおける効率的な並列計算を可能にする。

ABSTRACT

Recently, Czumaj et.al. (arXiv 2017) presented a parallel (almost) $2$-approximation algorithm for the maximum matching problem in only $O({(\log\log{n})^2})$ rounds of the massive parallel computation (MPC) framework, when the memory per machine is $O(n)$. The main approach in their work is a way of compressing $O(\log{n})$ rounds of a distributed algorithm for maximum matching into only $O({(\log\log{n})^2})$ MPC rounds. In this note, we present a similar algorithm for the closely related problem of approximating the minimum vertex cover in the MPC framework. We show that one can achieve an $O(\log{n})$ approximation to minimum vertex cover in only $O(\log\log{n})$ MPC rounds when the memory per machine is $O(n)$. Our algorithm for vertex cover is similar to the maximum matching algorithm of Czumaj et.al. but avoids many of the intricacies in their approach and as a result admits a considerably simpler analysis (at a cost of a worse approximation guarantee). We obtain this result by modifying a previous parallel algorithm by Khanna and the author (SPAA 2017) for vertex cover that allowed for compressing $O(\log{n})$ rounds of a distributed algorithm into constant MPC rounds when the memory allowed per machine is $O(n\sqrt{n})$.

研究の動機と目的

• 各マシンあたり制限されたメモリを有するMPCモデルにおける最小頂点被覆の並列アルゴリズムを設計すること。
• 最大マッチング（Czumajら）で用いられたラウンド圧縮技術を頂点被覆問題へ拡張すること。
• 従来のMPCアルゴリズムがしばしば複雑な手順に依存するのと比較して、頂点被覆の解析を単純化すること。
• 各マシンあたりO(n)のメモリ制限下で、合理的な近似比を維持しながら、対数未満のラウンド複雑度を達成すること。
• わずかに非線形メモリ領域でも動作する実用的で実装可能なMPCアルゴリズムを提供すること。

提案手法

• 各フェーズで次数がしきい値を超える頂点を反復的に削除する段階的剥がしプロセスを用いる。初期のしきい値はnであり、各フェーズでその値を半分にする。
• 各フェーズを、頂点をランダムに分割することで、各マシンにグラフを分散させることでO(1)のMPCラウンドに圧縮する。
• 各フェーズ内では、各マシンがランダムに選ばれた頂点のサブセットとその接続辺を独立に処理し、局所的な剥がしをシミュレートする。
• 各マシンの局所計算から得た部分被覆を集約して、グローバルな頂点被覆を維持する。
• 最終フェーズでは、残余グラフに対して標準的な剥がしプロセスを用い、すべての辺が被覆されることを保証する。このとき、メモリがsの場合、ラウンド数はO(log(n/s))で抑えられる。
• 濃度補正を用いて、各マシンあたりの辺の数が高確率でメモリ制限内に収まることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 MPCにおける最大マッチングに用いられたラウンド圧縮技術を、最小頂点被覆問題に適応できるか？
• RQ2 従来の手法と比較して、MPCにおける頂点被覆の解析をより単純化できるか？
• RQ3 各マシンあたりO(n)のメモリ制限下で、近似比とラウンド複雑度のトレードオフはどのようなものか？
• RQ4 アルゴリズムをわずかに非線形メモリ領域（s = n^Ω(1)）に対しても拡張可能か？
• RQ5 ランダムな頂点分割は、MPCにおける頂点被覆の効率的かつスケーラブルな並列計算を可能にするか？

主な発見

• アルゴリズムは高確率で最小頂点被覆のO(log n)近似を達成する。
• 各マシンあたりO(n)のメモリを有する場合、アルゴリズムはO(log log n)ラウンドで実行される。
• 各マシンあたりのメモリ使用量は高確率でO(n log² n)であり、MPCモデルにおける実行可能性を保証する。
• アルゴリズムは、サブラインスメモリs = n^Ω(1)に対しても拡張可能であり、O(log log n + log(n/s))ラウンドで動作する。
• 従来のMPCアルゴリズムと比較して、解析が著しく単純化されており、複雑なデータ構造や複雑な調整を回避している。
• マッチング問題から得たラウンド圧縮技術が、頂点被覆問題に対しても効果的に再利用可能であることを示している。これは、元のマッチングアルゴリズムが直接的に頂点被覆に拡張できないにもかかわらずである。