[論文レビュー] Simple rules of functional integration in the Schwarzian theory: SYK correlators

V. V. Belokurov, Evgeniy T. Shavgulidze|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 52被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、シュバルツィアン量子力学における関数的積分の普遍的ルールを確立し、サハド＝イェ＝キタエフ（SYK）モデルにおける相関関数の明示的計算を可能にする。シュバルツィアン測度の準不変性と、商空間 $\mathrm{Diff}^{1}_{+}(S^1)/SL(2,\mathbb{R})$ 及び $\mathrm{Diff}^{1}_{+}(\mathbb{R})/P$ 上での統合を活用することで、複雑な関数的積分を取り扱いやすい多重積分に還元し、2点および4点相関関数（特に時序外れ（OTO）4点関数を含む）の正確な表現式を導出する。

ABSTRACT

We derive the general rules of functional integration in the theories of the Schwarzian type, and evaluate explicitly the functional integrals assigning correlation functions in the SYK model.

研究の動機と目的

• シュバルツィアン型理論における関数的積分の体系的計算法を構築すること。この理論は、SYKモデルおよびジャッキウ・タイベルボイム重力理論の基礎をなす。
• 非コンパクトな部分群を有する微分同相群上での関数的積分の評価という課題を、適切な商空間因子分解を導入することによって解決すること。
• 関数的積分を通常の多重積分に還元する普遍的で単純なルールを導出し、相関関数の正確な計算を可能にすること。
• 導出された統合ルールを用いて、SYKモデルにおける2点および4点相関関数の明示的解析的表現式を提供すること。

提案手法

• シュバルツィアン測度 $\mu_\sigma(d\varphi) = \exp\left\{\frac{1}{\sigma^2}\int_{S^1} \mathcal{S}_\varphi(t) dt\right\} d\varphi$ が $SL(2,\mathbb{R})$ 変換に対して準不変であることを利用し、商空間 $\mathrm{Diff}^{1}_{+}(S^1)/SL(2,\mathbb{R})$ 上での統合を定義する。
• 同様の原理を $\mathrm{Diff}^{1}_{+}(\mathbb{R})/P$ に適用する。ここで $P$ は $SL(2,\mathbb{R})$ の非コンパクト部分群であり、アフィン変換 $f \mapsto af + b$ からなる。不変被積分関数に対して収束を保証する。
• 微分同相群上での関数的積分を、$u = \varphi'(0)$, $v = \varphi'(1)$ などの変数上の多重積分に還元し、ラプラス型変換を用いて補助変数 $\theta_i$ を導入する。
• シュバルツィアン作用の $\mathcal{S}_f(t)$ を用いた表現を用い、超幾何関数および $\sinh/\sin$ 積分を用いて経路積分を固有モードの和に変換する。
• 2点関数 $\mathcal{G}_2^n(0,\tau)$ を $u,v$ 上の2重積分とその後続の $\theta$ 積分により導出し、ベータ関数および超幾何関数を含む閉形式の表現式を得る。
• OTO 4点関数 $\mathcal{G}_4^{OTO}(0,\tau_2;\tau_1,\tau_3)$ の計算に本手法を適用する。時間領域を分割し、独立な指数関数的および三角関数的因子を有する3つの $\theta$-積分を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクト性を示す対称性群 $SL(2,\mathbb{R})$ を有するシュバルツィアン理論における関数的積分を、どのように体系的に評価できるか？
• RQ2 $\mathrm{Diff}^{1}_{+}(S^1)$ 上での関数的積分を、有限次元の多重積分に還元する普遍的ルールは何か？
• RQ3 $\mathrm{Diff}^{1}_{+}(S^1)/SL(2,\mathbb{R})$ と $\mathrm{Diff}^{1}_{+}(\mathbb{R})/P$ の2つの積分領域の選択が、得られる相関関数にどのように影響するか？
• RQ4 本フレームワークを用いて、SYKモデルにおける2点関数および OTO 4点関数の両方について、正確な解析的表現式を導出できるか？
• RQ5 2点関数の $\tau \to \infty$ における漸近的挙動は何か？ そして、その挙動は積分構造からどのように導かれるか？

主な発見

• 2点相関関数 $\mathcal{G}_2^n(0,\tau)$ は、$2\pi^{-3/2}\left(\frac{\sigma^2}{2}\right)^{(n-1)/2} B\left(\frac{n+1}{2},\frac{n+1}{2}\right) \tau^{-1/2} \int_0^{\infty} d\theta \, \sin\left(\frac{4\pi\theta}{\sigma^2\tau}\right) \sinh\theta \, \exp\left\{-\frac{2}{\sigma^2\tau}(\theta^2 - \pi^2)\right\} \times F\left(\frac{n+1}{2},\frac{n+1}{2};\frac{n+1}{2}+1;\frac{1 - \cosh\theta}{2}\right)$ として導出される。
• $n=2$ の場合、式は $\left(\frac{\sigma^2}{2\pi^3}\right)^{1/2} \tau^{-1/2} \int_0^{\infty} d\theta \, \exp\left\{-\frac{2}{\sigma^2\tau}(\theta^2 - \pi^2)\right\} \sin\left(\frac{4\pi\theta}{\sigma^2\tau}\right) \left[\frac{1}{\sinh\theta} - \frac{\theta \cosh\theta}{\sinh^2\theta}\right]$ に簡略化され、2点関数の正確な閉形式が得られる。
• $\mathcal{G}_2^n(0,\tau)$ の $\tau \to \infty$ における漸近的挙動は、$4\pi^{-1/2}\left(\frac{\sigma^2}{2}\right)^{(n-3)/2} B\left(\frac{n+1}{2},\frac{n+1}{2}\right) \tau^{-3/2} \int_0^{\infty} \theta \sinh\theta \, F\left(\frac{n+1}{2},\frac{n+1}{2};\frac{n+1}{2}+1;\frac{1 - \cosh\theta}{2}\right) d\theta$ であり、べき乗則の減衰を示す。
• OTO 4点関数 $\mathcal{G}_4^{OTO}(0,\tau_2;\tau_1,\tau_3)$ は、3つの $\theta$-積分、3つの $x,y$-積分、および $z_1,z_2$ 上の2重積分を含む7次元積分として表現され、$\tau_1, \tau_2 - \tau_1, \tau_3 - \tau_2$ および完全な時間順序に明示的な依存関係を示す。
• OTO関数は非自明な時間順序依存性を示し、2点関数の積に分解できない。これは、量子カオスを調べる上でその役割を確認するものである。
• 4点関数 $\mathcal{G}_4^{TO}$ は $\mathcal{G}_2(0,\tau_1) \mathcal{G}_2(\tau_2,\tau_3)$ に分解可能であり、時間順序付き相関関数が単に2点関数の積であることを示しており、OTOの場合とは対照的である。