[論文レビュー] Simple Toeplitz subshifts: combinatorial properties and uniformity of cocycles

Daniel Sell|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2020

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 80被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、単純なトーペリッツ符号ずれ（combinatorially structured symbolic dynamical systems）を、Jacobi作用素を用いた複雑性、繰り返し性、スペクトル的性質の分析を通じて調査する。本稿では、先行順序条件を導入し、局所定数なSL(2,R)-コホーショントがこの条件下で一様であることを証明するとともに、これらの符号ずれにおけるJacobi作用素のスペクトルがLebesgue測度0のカントール集合であることを確立し、従来のシュレーディンガー作用素に関する結果をより広いJacobiクラスに一般化する。

ABSTRACT

We investigate combinatorial properties of aperiodic simple Toeplitz subshifts, as well as spectral properties of Jacobi operators defined by them. More precisely, we derive explicit formulas for complexity, palindrome complexity and, for sufficiently large word length, repetitivity. In addition we give a complete description of the de Bruijn graphs. We characterise alpha-repetitivity and, based on a work by Liu and Qu from 2011, the Boshernitzan condition. These combinatorial results can also be found in [arXiv:1801.08778]. Regarding the Jacobi operators, we show that they have empty pure point spectrum for almost all elements in the subshift. This generalises a result of Grigorchuk, Lenz and Nagnibeda from 2018. In addition the spectrum is shown to be a Cantor set of Lebesgue measure zero. In fact we prove the stronger statement that every locally constant SL(2,R)-cocycle is uniform. To do so, we use the so-called leading sequence condition for subshifts, which stems from a collaboration with Grigorchuk, Lenz and Nagnibeda, see [arXiv:1906.01898]. This approach allows us to establish uniformity of cocycles for simple Toeplitz subshifts and Sturmian subshifts in a unified way. An appendix briefly reviews the connection between Jacobi operators on simple Toeplitz subshifts and Laplacians on Schreier graphs of self-similar groups.

研究の動機と目的

• 単純なトーペリッツ符号ずれの組合せ的構造、すなわち複雑性、回文複雑性、および繰り返し性を特定すること。
• シュレーディンガー作用素から得られたスペクトル的結果を、これらの符号ずれにおけるJacobi作用素へと拡張すること、特に純粋点スペクトルおよびカントールスペクトルに関して。
• 局所定数なSL(2,R)-コホーショントの均一性を統一的に特徴づける基準としての先行順序条件を導入し、それを適用すること。
• 単純なトーペリッツ符号ずれが先行順序条件を満たすことを確立し、これによりスペクトル的結論を導くこと。
• これらの符号ずれにおけるJacobi作用素のスペクトルが、Lebesgue測度0のカントール集合であることを示すこと。これは、従来のトレース写像に基づく結果を一般化する。

提案手法

• 単純なトーペリッツ符号ずれを、非常に規則的な周期的構造を持つトーペリッツ語の部分クラスを用いて構築する。
• 近似部分語の構造的分解を用いて、複雑性、回文複雑性、および漸近的繰り返し性の明示的公式を導出する。
• 元となる周期構造に基づく再帰的構成により、これらの符号ずれのde Bruijnグラフを特徴付ける。
• 局所定数なSL(2,R)-コホーショントの均一性の新しい基準としての先行順序条件を導入する。
• ゴードン型の議論を適用して固有値を除外し、符号ずれのほとんど至るところで純粋点スペクトルが空であることを証明する。
• 先行順序条件を用いて、修正された伝搬行列コホーショントの均一性を証明し、これによりスペクトルがLebesgue測度0のカントール集合であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純なトーペリッツ符号ずれの正確な組合せ的不変量—複雑性、回文複雑性、および繰り返し性—は何か？
• RQ2 単純なトーペリッツ符号ずれにおけるボシェルニツィアン条件およびα-繰り返し性は、どのように特徴づけられるか？
• RQ3 符号ずれにおける伝搬行列コホーショントが、どのような条件下で均一になるか？
• RQ4 シュレーディンガーの場合を越えて、単純なトーペリッツ符号ずれにおけるJacobi作用素のカントールスペクトル性は、どのように確立できるか？
• RQ5 単純なトーペリッツ符号ずれは、新たに導入された先行順序条件を満たすか？そして、そのスペクトル的帰結は何か？

主な発見

• 単純なトーペリッツ符号ずれの複雑性および回文複雑性について、明示的公式が導出され、後者は完全に特徴づけられる。
• 十分に大きな語長に対して、単純なトーペリッツ符号ずれの繰り返し性が明示的に計算され、対数的に増加することが示される。
• 単純なトーペリッツ符号ずれのde Bruijnグラフは、元となる周期パターンに基づく再帰的構造によって完全に記述される。
• 劉と QU（2011）の結果に基づき、すべての単純なトーペリッツ符号ずれについてα-繰り返し性およびボシェルニツィアン条件が特徴づけられる。
• 単純なトーペリッツ符号ずれにおけるJacobi作用素は、符号ずれのほとんど至るところで純粋点スペクトルが空であることが証明され、グリゴルチク、レンツ、ナグニベダの結果が一般化される。
• 単純なトーペリッツ符号ずれにおける任意のJacobi作用素のスペクトルは、Lebesgue測度0のカントール集合であることが、先行順序条件および伝搬行列コホーショントの均一性を用いて確立される。