[論文レビュー] Simple Virasoro modules which are locally finite over a positive part

Volodymyr Mazorchuk, Kaiming Zhao|arXiv (Cornell University)|May 27, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、正部分代数上で局所的有限であるような単純Virasoro加群の一般的構成を提示し、最高重量型とWhittaker型加群を統一する。有限次元可解代数 $\tau_n = \mathfrak{V}_+ / \mathfrak{V}_+^{(n)}$ 上の単純加群から誘導することで、ある $k$ に対して $\mathfrak{V}_+^{(k)}$ 上で局所的有限であるすべての単純Virasoro加群を分類し、既知の加群を回復するとともに、新しい族を構成する。

ABSTRACT

We propose a very general construction of simple Virasoro modules generalizing and including both highest weight and Whittaker modules. This reduces the problem of classification of simple Virasoro modules which are locally finite over a positive part to classification of simple modules over a family of finite dimensional solvable Lie algebras. For one of these algebras all simple modules are classified by R. Block and we extend this classification to the next member of the family. As a result we recover many known but also construct a lot of new simple Virasoro modules. We also propose a revision of the setup for study of Whittaker modules.

研究の動機と目的

• ある $\mathfrak{V}_+^{(k)}$ 上で局所的有限であるすべての単純Virasoro加群を分類すること。最高重量型やWhittaker型加群の既知のクラスを一般化する。
• 最高重量型とWhittaker型加群の両方を含む一様な誘導機構を導入することで、単純Virasoro加群の構成を統一すること。
• このような加群の分類を、有限次元可解リー代数 $\mathfrak{a}_n = \mathfrak{V}_+ / \mathfrak{V}_+^{(n)}$ 上の単純加群の分類に還元すること。
• Blockによる $\mathfrak{a}_1$-加群の分類を $\mathfrak{a}_2$ に拡張し、新しい族の単純Virasoro加群を導出すること。
• Virasoro代数の一般Whittaker加群の設定を再考し、特定の部分代数 $\mathfrak{n}$ に対して $\mathfrak{F}_\mathfrak{n} = \mathfrak{W}_\mathfrak{n}$ が成り立つことを示し、すべてのこのような加群が主な分類に含まれることを保証すること。

提案手法

• $\mathfrak{V}_+^{(k)}$ を $\mathfrak{V}$ のリー部分代数として、$i > k$ に対して $\mathtt{l}_i$ で生成されるものと定義し、$\mathfrak{V}_+^{(k)}$ 上で局所的有限である加群を研究する。
• 単純 $\mathfrak{V}_+$-加群 $N$ が特定の有限性および単射性条件を満たすとき、誘導加群の構成 $\mathrm{Ind}_\theta(N) = U(\mathfrak{V}) \otimes_{U(\mathfrak{V}_+)} N / (\mathtt{c} - \theta)\mathrm{Ind}(N)$ を用いる。
• $\mathtt{l}_k$ が $N$ 上で単射的であり、すべての $i > k$ に対して $\mathtt{l}_i N = 0$ であるならば、任意の $\theta \in \mathbb{C}$ に対して $\mathrm{Ind}_\theta(N)$ は単純 $\mathfrak{V}$-加群であることが保証され、これが中心的な構成である。
• $\mathfrak{V}_+^{(k)}$ 上で局所的有限である単純 $\mathfrak{V}$-加群の分類を、有限次元可解リー代数 $\mathfrak{a}_n = \mathfrak{V}_+ / \mathfrak{V}_+^{(n)}$ 上の単純加群の分類に還元する。
• Blockによる $\mathfrak{a}_1$-加群の分類を活用し、既知のWhittaker加群を回復するとともに、新しい加群を構成する。
• 特定の部分代数 $\mathfrak{n} \subset \mathfrak{V}_+^{(0)}$ に対して $\mathfrak{F}_\mathfrak{n^} = \mathfrak{W}_\mathfrak{n}$ が成り立つことを証明し、Whittakerの枠組みが妥当であり、分類が完全であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの単純Virasoro加群が、ある $\mathfrak{V}_+^{(k)}$ 上で局所的有限であるか？
• RQ2 最高重量型とWhittaker型加群を一つの枠組み内で一様に生成できるか？
• RQ3 このような加群の分類を、有限次元リー代数 $\mathfrak{a}_n = \mathfrak{V}_+ / \mathfrak{V}_+^{(n)}$ にどの程度還元できるか？
• RQ4 $\mathfrak{a}_2$ 上の単純加群の構造は何か？ そして、既知のWhittaker加群とどのように関係するか？
• RQ5 Virasoro代数のWhittaker加群の設定が、すべての局所的有限加群をどのように得られるかの条件は何か？

主な発見

• 定理1は、$N$ が $\mathfrak{V}_+$-加群で $\mathtt{l}_k$ が単射的かつすべての $i > k$ に対して $\mathtt{l}_i N = 0$ であるとき、任意の $\theta \in \mathbb{C}$ に対して $\mathrm{Ind}_\theta(N)$ が単純 $\mathfrak{V}$-加群であることを示し、一般的構成法を提供する。
• 定理2は、ある $\mathfrak{V}_+^{(k)}$ 上で局所的有限であるすべての単純 $\mathfrak{V}$-加群が、最高重量加群であるか、またはこのような $N$ に対して $\mathrm{Ind}_\theta(N)$ と同型であることを証明し、それらすべてを分類する。
• $\mathfrak{V}_+^{(k)}$ 上で局所的有限である単純 $\mathfrak{V}$-加群の分類は、完全に有限次元可解リー代数 $\mathfrak{a}_n = \mathfrak{V}_+ / \mathfrak{V}_+^{(n)}$ 上の単純加群の分類に還元される。
• $n=1$ の場合、Blockによる $\mathfrak{a}_1$-加群の分類を $\mathfrak{a}_2$ に拡張し、単純 $\mathfrak{a}_2$-加群の完全な分類が得られ、それにより新しい族の単純Virasoro加群が得られる。
• 本稿では、すべての $\mathfrak{n} \subset \mathfrak{V}_+^{(0)}$ で $\mathfrak{V}_+^{(k)}$ を含むものに対して $\mathfrak{F}_\mathfrak{n} = \mathfrak{W}_\mathfrak{n}$ が成り立つことを示し、Whittaker枠組みの妥当性を裏付け、すべてのこのような加群が分類に含まれることを保証する。
• この構成により、[OW1, LGZ, FJK] で既に知られていたすべてのWhittaker加群が回復され、これまで分類されていなかった多くの新しい単純Virasoro加群が得られる。