[論文レビュー] Simplicial Complexity: piecewise linear motion planning in robotics

Jesús González|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2017

Robotic Path Planning Algorithms被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、有限の単体複体に対して適用可能な、ファーバーのトポロジカル・コンプレックスの離散的かつアルゴリズム的に実装可能な変種である単体的複雑性（SC）を導入する。バーチカル・サブディビジョンと単体写像の連続性を用いることで、幾何的実現 ∥K∥ のトポロジカル・コンプレックスを回復し、有限複体に対して SC(K) = TC(∥K∥) を証明する。主な貢献は、組合せ的トポロジーを用いてロボット工学における最適な、区分的線形な運動計画を構築する計算可能なフレームワークを提供することである。

ABSTRACT

Using the notion of contiguity of simplicial maps, we adapt Farber's topological complexity to the realm of simplicial complexes. We show that, for a finite simplicial complex $K$, our discretized concept recovers the topological complexity of the realization $\|K\|$. Our approach is well suited for designing and implementing algorithms that search for optimal motion planners for autonomous systems in real-life applications.

研究の動機と目的

• ファーバーのTC概念の離散化を通じて、トポロジカル・コンプレックスとロボット工学における実用的運動計画のギャップを埋めること。
• 単体的複体を用いた、計算可能でアルゴリズム的な最適運動計画の構築フレームワークを開発すること。
• 従来の離散モデルが、例えば TC(S¹) = 1 のような既知のTC値を捉えられないという限界を克服すること。
• 空間の実現の元のトポロジカル・コンプレックスを回復する組合せ的不変量としての単体的複雑性を確立すること。

提案手法

• 積複体 K × K をバーチカル・サブディビジョンで細分化し、経路の区分的線形近似を可能にする。
• (b,c)-単体的複雑性 SCᵇᶜ(K) を、Sᵈᵇ(K×K) を、射影 π₁ と π₂ が c-連続となる部分複体の被覆で最小のものにしたときのそのサイズから1を引いたものとして定義する。
• 連続性をホモトピーの離散的アナログとして用い、アルゴリズム的実装を可能にする。
• 単体的近似理論を用いて、トポロジカルなホモトピーと組合せ的連続性クラスを関連付ける。
• b と c を増加させる過程における SCᵇᶜ(K) の極限として安定化単体的複雑性 SC(K) を導入し、TC(∥K∥) への収束を保証する。
• 評価写像 e: P(∥K∥) → ∥K∥×∥K∥ と補題 1.1 を用い、局所的セクションの存在を射影の連続性に等しいとみなす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限単体複体に対して、元の値を保ったままトポロジカル・コンプレックスを離散化することは可能か？
• RQ2 最適な運動計画のアルゴリズム的計算を可能にする組合せ的不変量を構築できるか？
• RQ3 バーチカル・サブディビジョンと連続性を用いることで、従来の有限空間アプローチに比べてより柔軟で正確な離散モデルが得られるか？
• RQ4 有限複体に対して、安定化単体的複雑性 SC(K) は元のトポロジカル・コンプレックス TC(∥K∥) に等しいか？

主な発見

• 任意の有限単体複体 K に対して、単体的複雑性 SC(K) はトポロジカル・コンプレックス TC(∥K∥) に等しい。
• この構成により、従来の離散モデルが失敗していた既知の結果 TC(S¹) = 1 が、完全に組合せ的表現で回復される。
• SC(K) は、SCᵇᶜ(K) が十分大きな b と c に対して安定化することで、well-defined であり、TC(∥K∥) に収束することが保証される。
• この手法により、コンピュータ実装に適した最適な区分的線形運動計画が設計可能である。
• 不変量 SC(K) は、実現のホモトピー同値性に関して保存され、∥K∥ が収縮可能（resp. 奇数次元球面にホモトピー同値）であるとき、かつそのときに限り SC(K) = 0（resp. 1）である。
• 列 SCᵇᶜ(K) は b と c の両方に関して非増加であり、SC(K) ≥ TC(∥K∥) が成り立ち、定理 2.6 で等号が成立することが示された。