[論文レビュー] Simplicial radditive functors

Vladimir Voevodsky|ArXiv.org|May 28, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、単体的加法的関手の圏間の関手に対するホモトピー的枠組みを構築し、連続関手の単体的拡張が局所同値を保存するための条件を確立する。主な貢献は、$\bar{\Delta}$-閉クラスを用いた基準であり、局所化されたホモトピー圏間の導来関手が $E$-局所同値を保存することを保証する。これは、単体的集合における古典的結果を代数的幾何学やモチビックホモトピー理論などのより広範な文脈へ一般化するものである。

ABSTRACT

The simplicial extension of any functor from Sets to Sets which commutes with directed colimits takes weak equivalences to weak equivalences. The goal of the present paper is construct a framework which can be used to proof results of this kind for a wide class of closed model categories and functors between those categories.

研究の動機と目的

• 閉じたモデル圏間の関手が弱同値を保存することを示す一般枠組みを構築すること、特にモチビックホモトピー理論のような文脈を想定すること。
• radditive関手が余極限を可換にしないという課題に取り組み、コイディングの置換に基づく標準的なホモトピー的技法が崩れるのを防ぐこと。
• 単体的集合において余極限を可換にする関手が弱同値を保存するという古典的結果を、プレシャーブや加法的関手の圏のようなより複雑な圏へ一般化すること。
• 局所化されたホモトピー圏間の導来関手が $E$-局所同値を保存する条件を定義し、特徴づけること。

提案手法

• 単体的圏 $\Delta^{op}C$ における $\bar{\Delta}$-閉クラスという、連続関手の単体的拡張に関して閉じた射の集合の概念を導入する。
• 単体的radditive関手の射影的モデル構造を用いて、$H(C)$ および $E$-局所同値による局所化 $H(C,E)$ としてホモトピー圏を定義する。
• $E$-局所同値が $\bar{\Delta}$-閉性によって特徴づけられることを確立し、関手を通じて性質を転送可能にする。
• スミスの局所化定理およびバウスフィールドの局所化を用いて、左固有性がなくても $cl_l(E)$ とモデル構造との関係を確立する。
• 関手的性の基準を構築する：すべての $f \in E$ に対して $F^{rad}(f \amalg \mathrm{id}_X) \in cl_l(E')$ ならば、$F^{rad}$ は $E$-局所同値を保存する。
• 随伴対 $(F^{rad}, F_{rad})$ を用い、$F$ に関する全射性条件の下で $F_{rad}$ が $E$-局所同値を反映することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続関手 $F: C^\# \to (C')^\#$ の単体的拡張が、$\Delta^{op}C^\#$ 内の対象間で $E$-局所同値を保存するための条件は何か？
• RQ2 局所化されたホモトピー圏において、導来関手 $\mathbf{L}F^{rad}: H(C) \to H(C')$ が $E$-局所同値を保存するための条件は何か？
• RQ3 $\bar{\Delta}$-閉性が $E$-局所同値の特徴づけおよび関手的性の保証において果たす役割は何か？
• RQ4 右随伴 $F_{rad}$ がいつ $E'$-局所同値を反映するのか、また $F$ にどのような条件を課すとそれが保証されるのか？
• RQ5 局所化されたホモトピー圏間の随伴 $\mathbf{L}F^{rad} \dashv \mathbf{R}F_{rad}$ がクイレン随伴となるか、その障害は何か？

主な発見

• 任意の連続関手 $F: C^\# \to (C')^\#$ の単体的拡張は、$\Delta^{op}C^\#$ 内の対象間で射影的同値を保存する。これにより、$\mathbf{L}F^{rad}: H(C) \to H(C^\prime)$ としてwell-definedな導来関手が得られる。
• 定理4.19は、$F^{rad}(E \amalg \mathrm{id}_C) \subset cl_l(E')$ ならば、$\mathbf{L}F^{rad}(cl_l(E)) \subset cl_l(E')$ が成り立つことを示し、$E$-局所同値の保存を保証する。
• 定理4.20は、$F$ が有限コプロダクトを可換にするとき、$F^{rad}$ が $\Delta^{op}C^\#$ 内の対象間で $E$-局所同値を保存し、$F_{rad}$ が $\Delta^{op}Rad(C^\prime)$ 内で $E'$-局所同値を保存することを示す。
• 系4.21は、$F_{rad}$ が $E'$-局所対象を $E$-局所対象にマッピングすることを証明し、$F$ が全射であると仮定すると、導来関手が局所化随伴を形成することを示す。
• $F$ が同型類上で全射であるならば、$\mathbf{R}F_{rad}$ は同型を反映するため、$cl_l(E') = F_{rad}^{-1}(cl_l(E))$ が成り立ち、局所同値の完全な特徴づけが得られる。
• この枠組みはモチビック文脈に適用可能である：対称べき関手や代数的幾何学における他の構成が $\mathbf{A}^1$-同値を保存することを一般化する。