[論文レビュー] Simplicial volume, Barycenter method, and Bounded cohomology

Sungwoon Kim, Инканг Ким|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非コン pact型高ランク対称空間の多くに対して、重心ストレートナイング写像の codimension-one ヤコビアンに対する一様な上界を確立し、ほとんどの $\rQ$-rank 1 局所対称空間の局所的有限な単体的体積が正であることを証明する。この結果は長年の未解決問題を解決し、Connell と Farb の次数定理を改善する。

ABSTRACT

We show that codimension one dimensional Jacobian of the barycentric straightening map is uniformly bounded for most of the higher rank symmetric spaces. As a consequence, we prove that the locally finite simplicial volume of most $\mathbb Q$-rank $1$ locally symmetric spaces is positive, which has been open for many years. Finally we improve the degree theorem for $\mathbb Q$-rank $1$ locally symmetric spaces of Connell and Farb. We also address the issue of surjectivity of the comparison map in real rank $2$ case.

研究の動機と目的

• ほとんどの $\rQ$-rank 1 局所対称空間の局所的有限単体的体積が正であるかどうかという、長年の未解決問題を解消すること。
• 高ランク対称空間における重心ストレートナイング写像の $k$-ヤコビアンを分析すること、特に $k = \dim(X) - 1$ の場合。
• 高ランク設定において、codimension-one ヤコビアンに対する初めての一様な上界を提供し、有界コホモロジーと単体的体積の理解を進める。
• Connell と Farb の研究に基づき、$\rQ$-rank 1 局所対称空間の次数定理を改善すること。
• 実ランク 2 の場合における有界コホモロジーの主要な問題である、比較写像の上への性質を調査すること。

提案手法

• ランク1因子をもたない対称空間に対して、重心法を適用し、codimension-one で一様に有界なヤコビアンを持つストレートナイング写像を構成する。
• van Est 同型を用いて、対称空間上の $G$-不変微分形式と連続有界コホモロジー類を関連付ける。
• 測地的単体上での積分を用いた明示的コチェーン代表元を用いる：$\mathcal{J}(\omega)(g_0,\dots,g_k) = \int_{[g_0,\dots,g_k]} \omega$。
• 実半単純リー群のルート系における最大特異的ベクトルを分析し、ヤコビアン写像の像の次元を評価する。
• 関連するすべての対称空間においてヤコビアンが一様に有界のまま保たれることを、$Q_v$ の次元条件をチェックすることでアルゴリズム的に確認する。
• 根系のデータ（例：正のルートの数、ルート空間の次元）を活用し、$E_6(6)$、$E_7(7)$、$E_8(8)$ およびその他のすべてのケースでアルゴリズムが成功することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク1因子をもたない高ランク対称空間に対して、重心ストレートナイング写像の codimension-one ヤコビアンは一様に有界か？
• RQ2 ヤコビアンの一様有界性は、Dupont の予想が示唆するように、すべての次数 $k$ の連続コホモロジー類が有界であることを意味するか？
• RQ3 この新しい上界を用いて、$\rQ$-rank 1 局所対称空間の局所的有限単体的体積が正であることを証明できるか？
• RQ4 実ランク 2 の場合、有界コホモロジーから連続コホモロジーへの比較写像が上への性質を失う度合いはどの程度か？
• RQ5 $\rQ$-rank 1 局所対称空間の次数定理は、このヤコビアン推定を用いて改善できるか？

主な発見

• ランク1因子をもたず、$\mathbb{R}$、$\mathbb{H}^2$、$\mathbb{H}^3$、$\mathrm{SL}_3\mathbb{R}/{\mathrm{SO}}(3)$、$\mathrm{SL}_4\mathbb{R}/{\mathrm{SO}}(4)$、$\mathrm{Sp}_4\mathbb{R}/\mathrm{U}(2)$ と等長な直接因子をもたないすべての非コン pact型対称空間 $X$ に対して、重心ストレートナイング写像の codimension-one ヤコビアンは一様に有界である。
• このようなすべての $X$ に対して、$X$ のみに依存する正の定数 $C > 0$ が存在し、任意の $f \in C^0(\Delta^{\dim(X)-1}, X)$ および $\delta \in \Delta^{\dim(X)-1}$ に対して $|\mathrm{Jac}(st_{\dim(X)-1}(f))(\delta)| \leq C$ が成り立つ。
• ほとんどの $\rQ$-rank 1 局所対称空間の局所的有限単体的体積は正に厳密に正であり、長年の未解決問題が解決された。
• $\rQ$-rank 1 局所対称空間の次数定理は、新しいヤコビアン上界により改善された。
• 実ランク 2 における比較写像の上への性質は、解析により扱われ、アルゴリズム的アプローチがすべてのケースで成功することを示した。
• $E_6$、$E_7$、$E_8$、$F_4$、$G_2$ のすべての実形式およびそのスプリットまたは非スプリット実現において、$Q_v$ の次元が段階数に対して十分に大きいことから、ヤコビアンを評価するためのアルゴリズムは常に成功する。