[論文レビュー] Simplicial volume of closed locally symmetric spaces of non-compact type

Jean‐François Lafont, Benjamin Schmidt|ArXiv.org|Apr 18, 2005

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、非コンパクト型の閉局所対称空間が正の単体的体積を持つことを証明し、グロモフが長年にわたり提起した予想を裏付けるものである。著者らは、バーチャー中心法を新規に応用して制御されたストレート化単体を構成する手法を用い、体積比較により単体的体積の下界を確立することで、正の体積の問題を解決し、多数の幾何学的・位相的帰結を導出する。

ABSTRACT

We show that compact, locally symmetric spaces of non-compact type have positive simplicial volume. This gives a positive answer to a question that was first raised by Gromov in 1982. We provide a summary of results that are known to follow from positivity of the simplicial volume.

研究の動機と目的

• 閉局所対称空間の非コンパクト型における単体的体積の正の性を解明すること。
• バーチャー中心法に基づく新しいストレートナイン手続きを用いて、単体的体積の下界を確立すること。
• そのような多様体が非自明な有界コホモロジーを有すること、およびF構造や固定点のないS¹作用を含む特定の幾何構造を有しないことを示すこと。
• 単体的体積と体積比の正確な値、および次元ごとの上位次元有界コホモロジーの基礎を提供すること。

提案手法

• トーラスのアプローチを拡張し、バーチャー中心法を用いて普遍被覆上でのΓ-不変ストレートナイン写像を構成する。
• 普遍被覆上の上位次元単体をストレート化し、ヤコビアンが一様に有界であるように定義し、体積歪みを制御する。
• 単体的体積の比例性原理を適用し、多様体の体積とストレート化された単体の最大体積の関係を関係づける。
• コンネルとファーブの推定値と、ベッソン＝クルトワ＝ガロのバーチャー中心法を用いて、ストレート化された単体のヤコビアンを評価する。
• ヤコビアンの一様有界性と多様体の体積を活用し、体積比較により単体的体積の下界を確立する。
• 得られた正の体積の性質を応用し、有界コホモロジー、L²不変量、幾何構造に関する帰結を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の非コンパクト型の閉局所対称空間は正の単体的体積を持つのか？
• RQ2 バーチャー中心法を用いて、そのような空間における上位次元単体のヤコビアンが一様に有界となるストレートナイン手続きを構築できるか？
• RQ3 与えられた非コンパクト型局所対称空間について、比 ||M^n|| / Vol(M^n) の正確な値は何か？
• RQ4 そのような多様体において、上位次元有界コホモロジー hat{H}^n(M^n) は有限次元か？
• RQ5 単体的体積が0のとき、LückのL²不変量に関する予想が満たされるか？

主な発見

• 任意の非コンパクト型の閉局所対称空間の単体的体積は、正の値をとる。
• 正の単体的体積の結果として、上位次元有界コホモロジー hat{H}^n(M^n) は非自明である。
• F構造、特に固定点のないS¹作用を含むいかなる構造も持たない。
• 任意のアフィン平坦 bundle E → M^n に対して、|χ| ≤ 2^{-n} ||M^n|| が成り立ち、以前の境界を改善する。
• M^n のベッチ数の和は、次元にのみ依存する定数倍の単体的体積で上から抑えられる。
• LückのL²不変量に関する予想の仮定を満たさないため、その予想の反例とはならない。