[論文レビュー] Simplicial volume of compact manifolds with amenable boundary

Sungwoon Kim, Thilo Kuessner|arXiv (Cornell University)|May 7, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、境界がアーメンである連結で向き付け可能かつコンパクトな多様体 $M$ の単体的体積が、相対単体的体積および有限である場合の幾何的（リプシッツ）単体的体積に等しいことを確立する。主な結果は、このような多様体に対して $\|V,\partial V\| = \|M\| = \|M,g_M\|_{\mathrm{Lip}}$ が成り立つことであり、境界成分のアーメン性の下で予想が解決され、有限体積かつ負に曲げられた双曲的多様体に対する比例の法則が可能になる。

ABSTRACT

Let $M$ be the interior of a connected, oriented, compact manifold $V$ of dimension at least 2. If each path component of $\partial V$ has amenable fundamental group, then we prove that the simplicial volume of $M$ is equal to the relative simplicial volume of $V$ and also to the geometric (Lipschitz) simplicial volume of any Riemannian metric on $M$ whenever the latter is finite. As an application we establish the proportionality principle for the simplicial volume of complete, pinched negatively curved manifolds of finite volume.

研究の動機と目的

• コンパクト多様体 $V$ の内部が $M$ であるような多様体 $M$ の単体的体積が、境界成分のアーメン性の下で相対単体的体積および幾何的単体的体積に等しくなることを、有限性条件のもとで証明すること。
• 有限体積かつ曲率が負に曲げられた完全な多様体に対して、比例の法則を確立し、$\mathbb{R}$-ランク1の局所的に対称的な空間に既知の結果を一般化すること。
• 境界成分の基本群がアーメンである設定において、単体的体積が消えることが、相対的および幾何的単体的体積の等価性を妨げないことを示すこと。
• 境界成分がアーメンであるという唯一の仮定のもとで、等式 $\|V,\partial V\| = \|M\|$ が成り立つという予想を解決すること。

提案手法

• 境界成分がアーメンであることで生じる、$H_b^n(V,\partial V)$ と $H_b^n(V)$ 間の等長同型写像を用いた有界コホホロジー技法。
• Löh の単体的体積の有限性基準を用い、境界成分の基本群がアーメンである場合に $\|M\|$ が有限であることを保証する。
• サイクルのリプシッツ定数の上限に基づく幾何的単体的体積の定義を用い、基本類の $\ell^1$-半ノルムと結びつける。
• 境界成分がアーメンである場合、包含写像が有界コホホロジーに等長同型写像を誘導することを用い、相対的および絶対的設定における単体的体積不変量の等価性を可能にする。
• 曲率の有界性のもとで Gromov の推定 $\|N,g_N\|_{\mathrm{Lip}} \leq C_n \cdot \mathrm{Vol}(N,g_N)$ を用い、幾何的単体的体積の有限性を保証する。
• 有限な場合の単体的体積と幾何的単体的体積の等価性を応用し、比例の法則を、曲率が負に曲げられた多様体へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界成分の基本群がアーメンである場合、多様体 $M$ の単体的体積が相対単体的体積 $\|V,\partial V\|$ に等しいかどうか。
• RQ2 境界成分がアーメンであり、有限性が成り立つ場合、幾何的単体的体積 $\|M,g_M\|_{\mathrm{Lip}}$ が単体的体積 $\|M\|$ に等しくなるかどうか。
• RQ3 有限体積かつ曲率が負に曲げられた完全な多様体に対して、単体的体積の比例の法則が拡張可能かどうか。
• RQ4 境界成分がアーメンであるという仮定のみで、等式 $\|V,\partial V\| = \|M\|$ が成り立つかどうか。
• RQ5 幾何的単体的体積 $\|M,g_M\|_{\mathrm{Lip}}$ の有限性が、単体的体積不変量の等価性確立に果たす役割は何か。

主な発見

• 次元が2以上の連結で向き付け可能かつコンパクトな多様体 $V$ で、境界成分の基本群がアーメンであるようなものに対して、相対単体的体積 $\|V,\partial V\|$ は単体的体積 $\|M\|$ に等しい。
• 幾何的単体的体積 $\|M,g_M\|_{\mathrm{Lip}}$ が有限である場合、同じアーメン境界条件のもとで、$\|V,\partial V\|$ および $\|M\|$ に等しくなる。
• 有限体積かつ曲率が負に曲げられた完全な多様体に対して、比例の法則が成り立つ：$\frac{\|M\|}{\mathrm{Vol}(M,g_M)} = \frac{\|N\|}{\mathrm{Vol}(N,g_N)}$ が成り立つのは、それらの普遍被覆が等長である場合に限る。
• 次元1では結果が成り立たない。反例として $V = [0,1]$ を取り上げると、$\|V,\partial V\| = 1$ であるが、$M = (0,1)$ の場合 $\|M\| = \infty$ である。
• $\|M,g_M\|_{\mathrm{Lip}}$ の有限性は不可欠である。例えば、双曲平面 $\mathbb{H}^2$ では $\|\mathbb{H}^2,h\|_{\mathrm{Lip}} = \infty$ であるが、$\|\mathbb{H}^2\| = 0$ である。
• 証明は、境界成分がアーメンであることで生じる有界コホホロジーの同型写像に依存しており、これにより基本類の $\ell^1$-半ノルムが相対的および絶対的設定間で保存される。