[論文レビュー] Simplicity of reduced group Banach algebras

N. Christopher Phillips|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2019

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、バナッハ空間の補間とKalantar-KennedyおよびHaagerupの結果を用いて、離散群に関連する縮小群バナッハ代数の単純性と一意的トレース性を確立する。$ C^*_{\text{r}}(G) $ が単純（または一意的トレースを持つ）ならば、$ p \in (1,\infty) $ に対して $ L^p $-類似物 $ F^p_{\text{r}}(G) $ およびその *-代数 $ B^{p,*}_{\text{r}}(G) $ も単純（または一意的トレースを持つ）であることを証明する。$ G $ が可算であるとき、これは反射的オルリッチおよびローレンツ列空間へ拡張される。

ABSTRACT

Let G be a discrete group. Suppose that the reduced group C*-algebra of G is simple. We use results of Kalantar-Kennedy and Haagerup, and Banach space interpolation, to prove that, for p in (1,infinity), the reduced group L^p operator algebra F^p_r(G) and its *-analog B^{p,*}_r(G) are simple. If G is countable, we prove that the Banach algebras generated by the left regular representations on reflexive Orlicz sequence spaces and certain Lorentz sequence spaces are also simple. We prove analogous results with simplicity replaced by the unique trace property. For use in the Orlicz sequence space case, we prove that if p is in (1,infinity), then any reflexive Orlicz sequence space is isomorphic (not necessarily isometrically) to a space gotten by interpolation between l^p and some other Orlicz sequence space.

研究の動機と目的

• 離散群 $ G $ に対して、$ p \in (1,\infty) $ の $ L^p $-類似バナッハ代数への、縮小群C*-代数の単純性と一意的トレース性の拡張。
• 可算群 $ G $ に対して、左正則表現が生成する反射的オルリッチ列空間およびローレンツ列空間の代数におけるこれらの性質の確立。
• バナッハ空間補間を用いた一般枠組みを提供し、$ C^*_{\text{r}}(G) $ から他の群バナッハ代数への単純性とトレース性の移行を可能にする。
• 任意の反射的オルリッチ列空間が、$ \ell^p $ と他のオルリッチ列空間の間の補間空間に線形同型であることを示す。

提案手法

• 特にリース＝トールン定理および一般化された補間定理を用いて、補間空間を介した作用素ノルムの推定を行うバナッハ空間補間を用いる。
• 単純性の主要基準として、定義2.1のPowers性質を適用し、表現における群元の凸結合のノルムが小さいことを示す。
• 定義3.1の $ g $-Powers性質を用いて、一意的トレース性を分析し、$ C^*_{\text{r}}(G) $ から $ F^p_{\text{r}}(G) $ および $ B^{p,*}_{\text{r}}(G) $ への拡張を行う。
• ローレンツ列空間 $ l^{p,r}(G) $ を補間空間 $ d^{\beta,r}(G) $ に関連付けるために、特定の数列 $ \beta_n = n^{r/p} - (n-1)^{r/p} $ を構成する。
• 文献[4, 定理1.4.19]の補間定理を用い、$ \theta = 1/2 $ のとき $ \|T\|_{p,r} \leq R \|T\|_{p_0}^{1-\theta} \|T\|_{p_1}^{\theta} $ の形のノルム推定を得る。これによりPowers性質の移行が可能になる。
• Kalantar-KennedyおよびHaagerupによる $ C^*_{\text{r}}(G) $ の既知の結果（単純性など）を基に、$ F^p_{\text{r}}(G) $ および $ B^{p,*}_{\text{r}}(G) $ への単純性の帰納的適用を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ C^*_{\text{r}}(G) $ が単純であるならば、$ p \in (1,\infty) $ に対して縮小 $ L^p $ 演算子代数 $ F^p_{\text{r}}(G) $ も単純であるか？
• RQ2 $ C^*_{\text{r}}(G) $ の一意的トレース性は、$ F^p_{\text{r}}(G) $ および $ B^{p,*}_{\text{r}}(G) $ へ拡張可能か？
• RQ3 $ G $ が可算群であるとき、左正則表現が生成する反射的オルリッチ列空間上のバナッハ代数は単純か？
• RQ4 ローレンツ列空間 $ l^{p,r}(G) $（$ 1 < r < p < \infty $）に対しても、同様の単純性およびトレース性が成り立つか？
• RQ5 任意の反射的オルリッチ列空間は、$ \ell^p $ と他のオルリッチ列空間の間の補間空間に同型であるか（等長的とは限らない）？

主な発見

• $ C^*_{\text{r}}(G) $ が単純ならば、すべての $ p \in (1,\infty) $ に対して $ F^p_{\text{r}}(G) $ も単純である。これは補間とPowers性質を用いて示される。
• $ C^*_{\text{r}}(G) $ に一意的トレース状態があるならば、すべての $ p \in (1,\infty) $ に対して $ F^p_{\text{r}}(G) $ は一意的ユニタリトレースを持つ。
• 任意の可算群 $ G $ に対して、$ 1 < r < p < \infty $ であるローレンツ列空間 $ l^{p,r}(G) $ に関連する代数 $ F^p_{\text{r}}(G) $ は、$ C^*_{\text{r}}(G) $ が単純ならば単純である。
• $ C^*_{\text{r}}(G) $ が単純ならば $ B^{p,*}_{\text{r}}(G) $ も単純であり、$ C^*_{\text{r}}(G) $ に一意的トレース状態があるならば、$ B^{p,*}_{\text{r}}(G) $ も一意的ユニタリトレースを持つ。
• 任意の反射的オルリッチ列空間は、$ p \in (1,\infty) $ に対して、$ \ell^p $ と他のオルリッチ列空間の間の補間空間に線形同型（等長的とは限らない）である。
• $ p \in (1,\infty) $、$ r \in (1,p) $、$ \beta_n = n^{r/p} - (n-1)^{r/p} $ のとき、空間 $ d^{\beta,r}(G) $ は $ l^{p,r}(G) $ と一致し、ノルムは $ \|\xi\|_{p,r} = (p/r)^{1/r} \|\xi\|_{\beta,r} $ を満たす。