[論文レビュー] Simplicity of UHF and Cuntz algebras on $L^p$~spaces

N. Christopher Phillips|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、$L^p$ 空間上のバナッハ代数版のUHF C*-代数としての空間的 $L^p$ UHF 代数を導入・分析することにより、$1 \leq p < \infty$, $d \geq 2$ に対して、Cuntz代数 $\mathcal{O}_d^p$ の $L^p$ 版が単純性、純粋無限性、および可解性を有することを確立する。主な貢献は、$\mathcal{O}_d^p$ が純粋無限で単純かつ可解なバナッハ代数であることを示し、同型類が $p$ と特殊な自然数によって分類されることを示したことである。

ABSTRACT

We prove that, for $p \in [1, \infty),$ and integers $d$ at least 2, the $L^p$ analog ${\mathcal{O}}_d^p$ of the Cuntz algebra ${\mathcal{O}}_d$ is a purely infinite simple amenable Banach algebra. The proof requires what we call the spatial $L^p$ UHF algebras, which are analogs of UHF algebras acting on $L^p$ spaces. As for the usual UHF C*-algebras, they have associated supernatural numbers. For fixed $p \in [1, \infty),$ we prove that any spatial $L^p$ UHF algebra is simple and amenable, and that two such algebras are isomorphic if and only if they have the same supernatural number (equivalently, the same scaled ordered $K_0$-group). For distinct $p_1, p_2 \in [1, \infty),$ we prove that no spatial $L^{p_1}$ UHF algebra is isomorphic to any spatial $L^{p_2}$ UHF algebra.

研究の動機と目的

• Cuntz代数の $L^p$ 版 $\mathcal{O}_d^p$ が $p \neq 2$ の場合に単純かつ純粋無限であることを確立し、$p=2$ の C*-代数の場合の結果を拡張すること。
• 空間的 $L^p$ UHF 代数を定義・研究し、バナッハ代数版の UHF C*-代数としての性質を示し、単純性、正規化されたトレースの一意性、および可解性を証明すること。
• 特殊な自然数を用いて空間的 $L^p$ UHF 代数の同型類を分類し、同型が同一の $p$ と特殊な自然数に依存することを示すこと。
• Rosenbergの可解性基準の一般化を用いて、$\mathcal{O}_d^p$ がバナッハ代数として可解であることを証明すること。
• Cuntz代数の標準的証明法（商における元の可逆性に依存）をバナッハ代数の文脈に適応し、$p \neq 2$ の場合に単純性と一意性が互いに従属しないことから、従来の C*-代数技法を超える新規な手法を必要とすることを示すこと。

提案手法

• 有限次元行列代数に関連する $L^p$-作用素代数の空間的表現を用いて、$L^p$ 空間上に空間的 $L^p$ UHF 代数を帰納的極限として定義する。
• バナッハ代数における条件付き期待と等長的群作用の理論を応用し、空間的 $L^p$ UHF 代数の構造を分析する。
• C*-代数における $K_0$-群分類を一般化し、$L^p$ UHF 代数の不変量として特殊な自然数の概念を用いる。
• 元の可逆性に依存する元の Cuntz代数の単純性証明法の変種を、バナッハ代数の文脈に適応する。
• 定理 5.17（バナッハ代数の可解性基準）を適用し、$\mathcal{O}_d^p$ が可解であることを示す。この際、$s_1, t_1$ 及びそれらの関係から生成される部分代数 $A$ に依存する。
• 文献 [16] の空間的表現および最小 $L^p$ テンソル積に関する結果を用いて、$\mathcal{O}_d^p$ をバナッハ代数として定義・分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Cuntz代数の $L^p$ 版 $\mathcal{O}_d^p$ は $p \neq 2$ の場合に単純かつ純粋無限であるか？
• RQ2 単純性の証明は、一意性定理や C*-代数技法に依存せずに可能か？
• RQ3 空間的 $L^p$ UHF 代数はバナッハ代数として可解であるか？ その分類不変量は何か？
• RQ4 空間的 $L^p$ UHF 代数間の同型は、$p$ と特殊な自然数にのみ依存するか？
• RQ5 一般化された Rosenberg 型定理を用いて、部分代数の可解性から $\mathcal{O}_d^p$ の可解性を導けるか？

主な発見

• $1 \leq p < \infty$ および $d \geq 2$ に対して、Cuntz代数の $L^p$ 版 $\mathcal{O}_d^p$ は純粋無限で単純かつ可解なバナッハ代数である。
• 空間的 $L^p$ UHF 代数は単純であり、可解かつ正規化されたトレースを一意に持つ。単純性は商における可逆性の議論により証明される。
• 2つの空間的 $L^p$ UHF 代数が同型であるための必要十分条件は、同じ $p$ と同じ特殊な自然数（同値に、スケーリングされた順序付き $K_0$-群）を持つことである。
• 異なる $p_1, p_2 \in [1, \infty)$ に対して、任意の空間的 $L^{p_1}$ UHF 代数は任意の空間的 $L^{p_2}$ UHF 代数と同型でない。
• $\mathcal{O}_d^p$ の可解性は、定理 5.17 を用いて確立され、Rosenbergの可解性基準が特定の生成条件およびノルム条件の下でバナッハ代数に一般化されている。
• $\mathcal{O}_d^p$ の $K_0$-群は、非ゼロのイデアル要素の代数的 Murray-von Neumann 同値類の群と同型であり、演算は $[e] + [f] = [s_1 e s_1^* + s_2 f s_2^*]$ で定義される。