[論文レビュー] Simplification Methods for Sum-of-Squares Programs

Peter Seiler, Qian Zheng+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2013

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、正定値行列のゼロ対角性を利用した、和の平方（SOS）プログラムのための高速で計算効率の良い単項式削減アルゴリズムを提案する。SOS行列における対応する対角成分がゼロでなければならない単項式を特定・除去することで、ニュートン多面体法よりも常に小さく、しばしば顕著に小さい単項式集合が得られ、計算時間が著しく短縮される。このアプローチは、暗黙的にゼロに制約される変数の削除を含む、より広範な簡略化フレームワークへと拡張され、数値的安定性とソルバの性能が向上する。

ABSTRACT

A sum-of-squares is a polynomial that can be expressed as a sum of squares of other polynomials. Determining if a sum-of-squares decomposition exists for a given polynomial is equivalent to a linear matrix inequality feasibility problem. The computation required to solve the feasibility problem depends on the number of monomials used in the decomposition. The Newton polytope is a method to prune unnecessary monomials from the decomposition. This method requires the construction of a convex hull and this can be time consuming for polynomials with many terms. This paper presents a new algorithm for removing monomials based on a simple property of positive semidefinite matrices. It returns a set of monomials that is never larger than the set returned by the Newton polytope method and, for some polynomials, is a strictly smaller set. Moreover, the algorithm takes significantly less computation than the convex hull construction. This algorithm is then extended to a more general simplification method for sum-of-squares programming.

研究の動機と目的

• 分解ベクトル内の過剰な単項式項によって引き起こされるSOSプログラミングにおける計算ボトルネックを解消すること。
• 凸包計算が高コストであるニュートン多面体法の代替として、より高速な手法を開発すること。
• 行列構造に起因してゼロでなければならないとされる単項式および変数を特定・削除することで、SOS最適化問題のサイズを低減すること。
• 記号的簡略化を通じて、SOSプログラミングにおける数値的安定性を向上させ、ソルバの実行時間を短縮すること。
• ゼロ対角性の原則を、制約付きSOSプログラムに適用可能な一般化された簡略化フレームワークへと拡張すること。

提案手法

• ゼロ対角アルゴリズムは、SOS定式化における等式制約によって、正定値行列Qの対角成分がゼロに制約されることを特定する。
• 数学的性質として、正定値行列の対角成分がゼロであれば、その行と列全体がゼロでなければならないことを利用し、単項式の削減が可能になる。
• アルゴリズムはMATLABの'find'コマンドを活用して、凸包構築よりも最小限の計算でこのような制約を効率的に検出する。
• 単一および複数の変数を含む等式制約を処理することで、符号情報および追加のゼロ制約を同定する。
• 変数が非負、非正、またはゼロに制約されているかどうかを追跡する符号ベクトルを維持し、反復的な簡略化を可能にする。
• アルゴリズムは反復的に単項式を削除し、制約行列Aの対応する列をゼロにすることで、問題のサイズを縮小しながらも妥当性を保持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ニュートン多面体法よりも高速であり、かつ単項式集合のサイズがそれ以上でない単項式削減手法を開発可能か？
• RQ2 正定値行列のゼロ対角性が、より単純で効率的な単項式の削減戦略を可能にするか？
• RQ3 ゼロ対角性の原則を、単項式削減を越えて、SOSプログラム全体の簡略化に一般化可能か？
• RQ4 符号制約に基づく変数の削除は、SOSプログラムにおける数値的安定性と計算時間の短縮にどの程度寄与するか？
• RQ5 提案された簡略化手法は、ニュートン多面体法やSOSTOOLSといった既存手法と比較して、性能および解のサイズの点で優れているか？

主な発見

• ゼロ対角アルゴリズムは、ニュートン多面体法よりも常に単項式集合が大きくならず、一部の多項式では顕著に小さい集合を生成する。
• 凸包構築を回避し、線形制約解析に依存するため、ニュートン多面体法よりも著しく少ない計算量で実行される。
• SOSOPTソフトウェアパッケージに実装され、実世界のSOSプログラミング問題において実用的な効率性の向上を示している。
• 一般化された簡略化手順は、暗黙的にゼロに制約される変数を効果的に同定・削除し、数値的安定性を向上させ、ソルバ実行時間を短縮した。
• 反復的な符号追跡と制約処理ロジックにより、1つ以上の制約を含むSOSプログラムの体系的な簡略化が可能になった。
• 問題の次元を低減しながらも妥当性と最適性を維持し、正確性を損なわずに高速な解法時間の達成が可能になった。