[論文レビュー] Simplified P$_N$ Equations for Nonclassical Transport with Isotropic Scattering

Richard Vasques, Rachel Slaybaugh|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2016

Nuclear reactor physics and engineering参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、等方的散乱を伴う非古典的輸送方程式に対して、漸近解析を用いて新しい拡散近似—非古典的 SP_N 方程式—を導出する。この手法は、自由パス分布のモーメントを組み込むことで、古典的簡易P_N（SP_N）方程式を非古典的媒体に一般化したものであり、数値結果により非古典的SP_N解が系が拡散極限に近づくにつれてベンチマーク結果に収束することが確認され、Nおよび系のサイズMが増加するにつれて精度が向上する。

ABSTRACT

An asymptotic analysis is used to derive a set of diffusion approximations to the nonclassical transport equation with isotropic scattering. These approximations are shown to reduce to the simplified P$_N$ equations under the assumption of classical transport, and therefore are labeled nonclassical SP$_N$ equations. In addition, the nonclassical SP$_N$ equations can be manipulated into a classical form with modified parameters, which can be implemented in existing SP$_N$ codes. Numerical results are presented for an one-dimensional random periodic system, validating the theoretical predictions.

研究の動機と目的

• 空間的に相関する散乱中心を有する乱れた媒質に適用可能な、等方的散乱を伴う非古典的輸送方程式の高次漸近近似を開発すること。
• 自由パス分布のモーメントを組み込むことで、古典的簡易P_N（SP_N）フレームワークを非古典的輸送に拡張すること。
• 非古典的SP_N方程式を古典的SP_N形式に再定式化し、既存のSP_Nコードとの互換性を確保すること。
• 1次元のランダム周期的系において、アンサンブル平均ベンチマーク解を用いて理論的枠組みを数値的に検証すること。
• 今後の多体系への拡張、角度依存の自由パス分布、および非等方的散乱への応用の基盤を構築すること。

提案手法

• 小パラメータεを用いて非古典的輸送方程式の漸近展開を実行し、全断面積、散乱比、および源をスケーリングすることで高次近似を導出する。
• 漸近級数展開の項をO(ε²)まで一致させることで、非古典的SP_1（拡散）、SP_2、SP_3方程式の明示的形を導出する。
• 非古典的SP_N方程式（N = M）が有効であるためには、自由パス分布p(s)の最初の2M次の原点モーメントが有限でなければならない。
• 非古典的SP_N方程式を、修正された断面積および吸収係数を有する古典的SP_N形式に再定式化し、標準的なマーシャック真空境界条件の適用を可能にする。
• 層厚さℓ = 0.5で平均自由行程スケールを確保する、交互に固体層と空洞層が配置された1次元ランダム周期的系を用いる。M = 1/εが拡散極限を制御する。
• 複数の物理的実現の平均をとることでモンテカルロ風のアンサンブル平均を用いてベンチマーク解を生成し、S_16離散座標法およびダイアモンド差分法を用いて輸送方程式を数値的に解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等方的散乱を伴う非古典的輸送方程式の高次漸近展開は、古典的SP_N方程式を一般化する一貫した拡散近似のセットを導出できるか？
• RQ2 自由パス分布が指数分布に還元される（古典的輸送ケース）場合、非古典的SP_N方程式はどのように振る舞うか？
• RQ3 非古典的SP_N方程式を、修正されたパラメータを有する古典的SP_N形式に再定式化できるか？これにより既存のSP_Nコードへの実装が可能になるか？
• RQ4 漸近理論の予測通り、系のサイズが増加し拡散極限に近づくにつれて、非古典的SP_N近似の精度が向上するか？
• RQ5 1次元ランダム周期的系において、非古典的SP_N解の収束行動はアンサンブル平均ベンチマーク解に対してどうなるか？

主な発見

• 非古典的SP_N方程式は、等方的散乱を伴う非古典的輸送方程式の高次漸近近似として導出され、自由パス分布の最初の2N次の原点モーメントが有限である限り有効である。
• 自由パス分布が指数分布（古典的輸送）の場合、非古典的SP_N方程式は正確に古典的SP_N方程式に還元され、既存の理論と整合することが確認された。
• 非古典的SP_N方程式は、修正された全断面積および吸収係数を有する古典的SP_N形式に変換可能であり、標準的なマーシャック真空境界条件の適用が可能となり、既存のSP_Nコードへの統合が可能である。
• 1次元ランダム周期的系における数値結果から、x=0におけるスカラーflux推定値の相対誤差がMが増加する（すなわちε→0に近づく）につれて減少することが示され、拡散極限への収束が確認された。
• 各Nについて、Mが増加するにつれて誤差が減少し、高次のSP_N近似（例：SP_3）は低次のもの（例：SP_1）よりも低い誤差を示した。これは漸近理論の予測であるNの増加に伴う精度向上が妥当であることを検証した。
• ベンチマーク解は、S_16離散座標法およびダイアモンド差分法を用いて複数の系実現のアンサンブル平均をとることで得られ、誤差評価の基準として用いられた。