[論文レビュー] Simplified Pair Copula Constructions --- Limits and Extensions

Jakob Stöber, Harry Joe+1 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2012

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、簡略化されたペア・コプゥル構成（PC）の理論的限界と拡張を調査し、条件付きコプゥルが条件付け値に依存しないという簡略化仮定を満たすのは、特定のアーチメデス型および楕円型コプゥル、たとえばガンマ・ラプラスおよびtコプゥルに限られることを示している。また、この仮定が成り立たない場合のより柔軟なモデリングのための方法を提案している。

ABSTRACT

So called pair copula constructions (PCCs), specifying multivariate distributions only in terms of bivariate building blocks (pair copulas), constitute a flexible class of dependence models. To keep them tractable for inference and model selection, the simplifying assumption that copulas of conditional distributions do not depend on the values of the variables which they are conditioned on is popular. In this paper, we show for which classes of distributions such a simplification is applicable, significantly extending the discussion of Hobæk Haff et al. (2010). In particular, we show that the only Archimedean copula in dimension d \geq 4 which is of the simplified type is that based on the gamma Laplace transform or its extension, while the Student-t copula is the only one arising from a scale mixture of Normals. Further, we illustrate how PCCs can be adapted for situations where conditional copulas depend on values which are conditioned on.

研究の動機と目的

• ペア・コプゥル構成における簡略化仮定（条件付きコプゥルが条件付け値に依存しないこと）を満たす多変量分布を特定すること。
• 特にアーチメデス型および楕円型コプゥルに関して、従来の研究を超えた簡略化されたPCCの理論的理解を拡張すること。
• 図1に示すように、PCCのクラスとその依存関係の分類を提供すること。
• 条件付きコプゥルが条件付け変数の値に依存する場合に、PCCをどのように拡張できるかを提案すること。
• スケール混合正規分布およびアーチメデス型コプゥルが簡略化されたPCCとして表現可能となる条件を明確にすること。

提案手法

• 条件付きコプゥルの構造を分析するために、ラプラス変換理論および無限に可除分布の性質を用いる。
• ラプラス変換の傾き変換の概念を適用し、時間変化したレヴィ過程がスケール混合正規分布をもたらし、tコプゥルを導出することを示す。
• 指数分布を成分とするマーシャル＝オルキン3変量コプゥルモデルを用いて、条件付き生存関数の明示的表現を導出する。
• 条件付きコプゥルを計算するために、条件付き生存関数の一般化逆関数を導出し、それが条件付け値に依存することを示す。
• ラプラス変換のテイラー級数展開を用いて、同一のラプラス変換は同一の分布を意味することを示し、スケール混合の同定を支援する。
• 異なる成分（例：$X_3 = E_{123}$）に条件付けたマーシャル＝オルキン3変量コプゥルの条件付きコプゥルを分析し、値に依存する挙動を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $d \geq 4$ のアーチメデス型コプゥルのうち、ペア・コプゥル構成における簡略化仮定を満たすのはどれか？
• RQ2 特にスケール混合正規分布に関して、楕円型コプゥルにおける簡略化仮定が成り立つ条件は何か？
• RQ3 条件付きコプゥルが条件付け変数の値に依存する場合、ペア・コプゥル構成をどのように拡張できるか？
• RQ4 ラプラス変換および無限に可除分布が、有効な簡略化されたPCCを特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ5 マーシャル＝オルキンの事例のように、多変量分布の条件付きコプゥルを明示的に導出し、それが条件付け値に依存することを示せるか？

主な発見

• 次元 $d \geq 4$ のアーチメデス型コプゥルの中で、簡略化仮定を満たすのは、ガンマ・ラプラス変換またはその拡張に基づくものに限られる。
• スケール混合正規分布から生じるコプゥルの中で、簡略化仮定を満たすのは、スルーデントtコプゥルに限られる。
• 3変量マーシャル＝オルキンコプゥルにおいて、$X_1, X_2 | X_3 = x_3$ の条件付きコプゥルは、$x_3$ の値に明示的に依存しており、この場合に簡略化仮定が成り立たないことを示している。
• マーシャル＝オルキンコプゥルの条件付き生存関数の一般化逆関数は、$x_1, x_2$ が $x_3$ より小さいか大きいかに応じて区分的になることが示され、値に依存するコプゥル構造を確認している。
• レヴィ過程に対するラプラス変換の傾き変換により、スケール変更された確率変数が得られ、簡略化仮定が成り立つためには、元の分布がガンマ分布に従う必要があることを示唆している。
• 3変量マーシャル＝オルキンモデルから導かれた条件付きコプゥルは、条件付け値にかかわらず一定ではなく、生存関数の分解と指数分布成分への条件付けを用いて明示的に計算されている。