[論文レビュー] Simply Connected Symplectic Calabi-Yau 6-Manifolds

Anar Akhmedov|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、トーラスに沿ったGompfのシンプレクティック連結和を用いて、初めて知られている単連結なシンプレクティックカーラビ＝ヤウ6次元多様体を構成し、また基本群ℤをもつシンプレクティック非ケーラーなカーラビ＝ヤウ6次元多様体を生成する。この構成は、E(1)×𝕋²におけるシンプレクティックファイバー和の操作に依存し、さらにコイホトロピックLuttinger手術を適用して新たな例を生成し、従来の構成とは対照的により単純な代替手法を提供するとともに、シンプレクティックカーラビ＝ヤウ6次元多様体の地理的性質を前進させる。

ABSTRACT

In this paper, we construct simply connected symplectic Calabi-Yau 6-manifolds by applying Gompf's symplectic fiber sum operation along $T^4$. Using our construction, we also produce symplectic non-Kähler Calabi-Yau 6-manifolds with fundamental group $\Z$. In this paper, we also produce the first examples of simply connected symplectic Calabi-Yau and non-Calabi-Yau 6-manifolds via coisotropic Luttinger surgery.

研究の動機と目的

• シンプレクティックファイバー和操作を用いて、単連結なシンプレクティックカーラビ＝ヤウ6次元多様体を構成すること。
• 基本群ℤをもつシンプレクティック非ケーラーなカーラビ＝ヤウ6次元多様体を生成すること。
• FineとPanov（2009年）らの先行研究と比較して、より単純な構成法を提供すること。
• 手術技法を用いて、シンプレクティックカーラビ＝ヤウ6次元多様体の地理的性質を調査すること。
• コイホトロピックLuttinger手術が、非単連結な出発多様体から、単連結およびℤ基本群をもつシンプレクティックカーラビ＝ヤウ6次元多様体を生成できることを示すこと。

提案手法

• E(1)×𝕋²の2つのコピーを、埋め込まれた𝕋⁴部分多様体に沿って、オイラー類条件e(ν₁)+e(ν₂)=0を満たす向き反転バンドル同型を用いてシンプレクティック連結和を適用する。
• Gompfの定理により、得られる多様体はシンプレクティック構造を誘導し、和におけるシンプレクティック形式が適切に定義されることを保証する。
• ホモロジー生成子（双対球面とファイバー類を含む）上で第一チャーン類c₁が消えることを確認することで、和多様体上でc₁が消えることを示す。
• K3×𝕋²内の2つの4次元トーラスに対してコイホトロピックLuttinger手術を実行し、縁回りと双対サイクルを用いて基本群を変更する。
• p=q=1のとき、基本群が自明になるように手術を選択する。一方、p=1,q=0またはp=0,q=1のとき、基本群はℤになる。
• 手術がシンプレクティック構造を保存し、π₁を制御可能にするためには、双対球面とメリジアンが補集合内でノルムホモトープであることが重要である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティック連結和操作を用いて、単連結なシンプレクティックカーラビ＝ヤウ6次元多様体を構成できるか？
• RQ2 シンプレクティックファイバー和技法を用いて、基本群ℤをもつシンプレクティック非ケーラーなカーラビ＝ヤウ6次元多様体を構成できるか？
• RQ3 コイホトロピックLuttinger手術は、制御された基本群をもつシンプレクティックカーラビ＝ヤウ6次元多様体を生成する有効な手法か？
• RQ4 次元6におけるシンプレクティック連結和およびLuttinger手術の下で、第一チャーン類c₁はどのように振る舞うか？
• RQ5 シンプレクティックファイバー和とLuttinger手術は、既知のシンプレクティックカーラビ＝ヤウ6次元多様体の地理的性質をどのように拡張するか？

主な発見

• E(1)×𝕋²の2つのコピーを𝕋⁴に沿ってシンプレクティック連結和した結果、初めて知られる単連結なシンプレクティックカーラビ＝ヤウ6次元多様体が構成された。
• 同じシンプレクティックファイバー和操作を用いて、基本群ℤをもつシンプレクティック非ケーラーなカーラビ＝ヤウ6次元多様体が構成された。
• K3×𝕋²内の2つの4次元トーラスに対してコイホトロピックLuttinger手術を実行した結果、p=q=1のとき、単連結なシンプレクティックカーラビ＝ヤウ6次元多様体が得られた。
• 1つの手術（p=1,q=0またはp=0,q=1）を施した場合、得られる多様体は基本群ℤをもち、シンプレクティックカーラビ＝ヤウである。
• 結果として得られる多様体のすべてのホモロジー生成子上で第一チャーン類c₁が消えることが確認され、カーラビ＝ヤウ条件が成立することが裏付けられた。
• 本構成は、単連結なシンプレクティックカーラビ＝ヤウ6次元多様体を構成するFine-Panovの構成とは対照的に、より単純な代替手法を提供する。