[論文レビュー] Simply Explicitly Invertible Approximations to 4 Decimals of Error Function and Normal Cumulative Distribution Function

Alessandro Soranzo, Emanuela Epure|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2012

Numerical Methods and Algorithms被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、すべての x ≥ 0 に対して絶対誤差 <2.27×10⁻⁵、相対誤差 <1.21×10⁻⁴ を達成する、誤差関数 erf(x) の新たな明示的逆関数を持つ近似を提示する。Winitzki の先行手法に比べ、絶対誤差を約 5.5 倍小さくし、改良されている。この手法は平方根式内の有理関数指数を用い、二回代入による四次方程式の解法により閉形式での逆関数が可能となり、正規累積分布関数 Φ(x)、補完誤差関数 erfc(x)、Q関数に対しても四捨五入精度 4 桁で近似可能に拡張される。

ABSTRACT

We improve the Modified Winitzki's Approximation of the error function $erf(x)\cong \sqrt{1-e^{-x^2\frac{\frac{4}π+0.147x^2}{1+0.147x^2}}}$ which has error $|\varepsilon (x)| &lt; 1.25 \cdot 10^{-4}$ $\forall x \ge 0$ till reaching 4 decimals of precision with $|\varepsilon (x)| &lt; 2.27 \cdot 10^{-5}$; also reducing slightly the relative error. Old formula and ours are both explicitly invertible, essentially solving a biquadratic equation, after obvious substitutions. Then we derive approximations to 4 decimals of normal cumulative distribution function $Φ(x)$, of erfc$(x)$ and of the $Q$ function (or cPhi).

研究の動機と目的

• Winitzki の誤差関数 erf(x) 近似の精度を向上させ、四捨五入精度 4 桁を達成すること。
• 絶対誤差を 1.25×10⁻⁴ から 2.27×10⁻⁵ 未満に低下させつつ、明示的逆関数性を維持すること。
• 補完誤差関数 erfc(x)、正規累積分布関数 Φ(x)、Q関数 (cPhi) に対し、同様の精度で類似の近似を導出すること。
• すべての近似が、変数変換 z = x² を行った後、四次方程式に帰着されることで明示的逆関数性を保証すること。
• x ≥ 0 の全定義域にわたり誤差境界を検証すること、特に x > 4 の漸近的挙動を含むこと。

提案手法

• 誤差関数 erf(x) の近似を改善するため、形式 exp(-(a x² + b x⁴)/(1 + c x² + d x⁴)) の新たな有理関数指数を提案する。
• 変換 erf(x) ≈ √(1 - exp(E(x))) を用い、E(x) = (-1.2735457x² - 0.1487936x⁴)/(1 + 0.1480931x² + 0.0005160x⁴) とする。
• 0 ≤ x ≤ 4 の範囲で、Mathematica で生成されたグラフとズームされた部分領域を用いて、解析的比較により誤差境界を確立する。
• x > 4 の場合、erf(x) と近似式 η(x) が両方とも 1 に近づき、|1 - erf(x)| < 10⁻⁷ および |1 - η(x)| < e⁻¹² であることを示し、組み合わせ誤差が 10⁻⁵ 未満であることを保証する。
• Φ(x) と Q(x) の近似を、erf(x) の式を係数を調整してスケーリングすることで導出する：Φ(x) ≈ ½ + ½√(1 - exp(E'(x))) で、E'(x) は x⁴ 項の係数を半分に、分母定数項を倍にする。
• すべての近似が、z = x² と置換した後、四次方程式を解くことで明示的逆関数性を保つようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Winitzki の erf(x) 近似を、明示的逆関数性を保ったまま四捨五入精度 4 桁に向上させることは可能か？
• RQ2 有理関数指数の係数をどのように調整すれば、絶対誤差を 5.5 倍小さくできるか？
• RQ3 改良された erf(x) 近似を、Φ(x)、erfc(x)、Q(x) に体系的に拡張し、同等の精度を達成できるか？
• RQ4 x ≥ 0 の全定義域、特に x > 4 の尾部領域において、誤差を厳密に境界付けるためにどのような解析的・数値的技法が有効か？
• RQ5 計算の単純さと逆関数性を維持したまま、相対誤差をどの程度まで低減できるか？

主な発見

• 新しい erf(x) 近似は、すべての x ≥ 0 に対して絶対誤差 <2.27×10⁻⁵ を達成し、Winitzki の 1.25×10⁻⁴ に比べ約 5.5 倍の改善を実現している。
• 相対誤差は <1.21×10⁻⁴ にまで低下し、定義域全域にわたり一貫した改善が確認された。
• Φ(x) の近似は絶対誤差 <1.14×10⁻⁵ を達成し、正規累積分布関数の四捨五入精度 4 桁を実現している。
• Q関数と erfc(x) の近似も、それぞれ絶対誤差 <2.27×10⁻⁵ と <1.14×10⁻⁵ を達成し、同等の精度を有している。
• すべての近似は、z = x² と置換した後、四次方程式の解法により明示的逆関数が可能である。
• x > 4.125 の領域では、近似式 erf(x) ≈ 1 の絶対誤差が新しい式を下回るが、新しい式は遷移領域においても有効かつ正確なまま維持される。