[論文レビュー] Simulating Arbitrary Pair-Interactions by a Given Hamiltonian: Graph-Theoretical Bounds on the Time Complexity

Paweł Wocjan, Dominik Janzing+1 more|ArXiv.org|Jun 13, 2001

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、与えられた置換不変性を持つ $zz$-相互作用ハミルトニアンを用いて、任意のペア相互作用ハミルトニアンをシミュレートするために必要な時間計算量のグラフ理論的境界を確立する。相互作用をグラフとしてモデル化し、スペクトル理論と主要化を適用することで、彩色指数と固有値スペクトルを用いて、シミュレーションの過負荷に対するタイトな下界と上界を導出する。特に、二部グラフ構造の相互作用グラフでは、時間発展演算子を逆転する過負荷が3未満で達成可能であることを示す。

ABSTRACT

We use an n-spin system with permutation symmetric zz-interaction for simulating arbitrary pair-interaction Hamiltonians. The calculation of the required time overhead is mathematically equivalent to a separability problem of n-qubit density matrices. We derive lower and upper bounds in terms of chromatic index and the spectrum of the interaction graph. The complexity measure defined by such a computational model is related to gate complexity and a continuous complexity measure introduced in a former paper. We use majorization of graph spectra for classifying Hamiltonians with respect to their computational power.

研究の動機と目的

• 固定された置換不変性を持つ $zz$-ペア相互作用ハミルトニアンのみに依存する量子シミュレーションの計算モデルを確立すること。
• 局所的制御と与えられた $zz$-相互作用のみを用いて、任意のペア相互作用ハミルトニアンをシミュレートするために必要な最小時間過負荷を特定すること。
• 与えられたハミルトニアンの計算的パワーを、その相互作用構造のグラフ理論的性質として特徴づけること。
• スペクトル理論とグラフ隣接行列の主要化を用いて、シミュレーション過負荷の厳密な下界と上界を導出すること。
• 特に完全グラフや二部グラフ構造の相互作用グラフにおける時間発展演算子の逆転の複雑さを調査すること。

提案手法

• 時間発展演算を支配するドリフトハミルトニアン $H_d = \sum_{k<l} \sigma_z^k \sigma_z^l$ と、$K = SU(2)^{\otimes n}$ に属する局所ユニタリ操作を逐次適用することで、連続時間アルゴリズムとして量子計算をモデル化する。
• 相互作用構造を、非ゼロの $zz$-結合に対応する辺を持つグラフ $G$ として表現し、相互作用行列 $J$ を $G$ の隣接行列として定義する。
• 局所ユニタリ変換による共役類 $\mathrm{Ad}_K(H_d)$ を用いて有効なハミルトニアンを生成し、モデル内でのユニバーサルシミュレーションを可能にする。
• キ・ファンの最大原理とワイエルの不等式を適用して、変換された $J$ 行列の和に対する固有値制約を導出し、シミュレーションの可能性に関する主要化条件を導出する。
• 特に正則または完全グラフに対しては、彩色指数 $\chi'(G)$ をシミュレーション時間過負荷の上界として用いる。
• シミュレーション過負荷 $\mu$ に対して、$\mathrm{Spec}(\tilde{J}) \prec \mu \cdot \mathrm{Spec}(J)$ というスペクトル主要化を、$\tilde{H}$ をシミュレートするための必要条件として用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された $zz$-相互作用ハミルトニアンと局所ユニタリ操作のみを用いて、任意のペア相互作用ハミルトニアンをシミュレートするために必要な最小時間過負荷は何か？
• RQ2 相互作用グラフのグラフ理論的性質、特に彩色指数と固有値スペクトルが、シミュレーション過負荷にどのように制約を加えるか？
• RQ3 時間反転（すなわち $-H_d$ のシミュレーション）は、過負荷が3未満で達成可能か？ どのような条件下で達成可能か？
• RQ4 スペクトル主要化は、あるハミルトニアンを別のハミルトニアンでシミュレートする可能性と効率性をどのように決定するか？
• RQ5 特に二部グラフまたは完全グラフ構造の相互作用グラフの構造は、シミュレーションの複雑さにどのように影響を与えるか？

主な発見

• シミュレーション過負荷 $\mu$ は、$\frac{r}{-q}$ で下界づけられ、ここで $r$ と $q$ は相互作用行列 $J$ の最大固有値と最小固有値である。完全グラフにおいてこの下界がタイトであることが示された。
• 完全グラフ $K_n$ に対して、時間発展演算の逆転のための過負荷の下界は $n-1$ であり、重み付き彩色指数 $\chi'(K_n)$ による上界と一致する。
• 相互作用グラフが二部グラフの場合、1つの部分集合のすべてのキュービットにパウリ $X$、$Y$、または $Z$ ゲートを適用することで、時間発展演算を過負荷3未満で逆転可能である。
• 過負荷 $\mu$ で $\tilde{H}$ をシミュレートするための必要条件は、$\mathrm{Spec}(\tilde{J}) \prec \mu \cdot \mathrm{Spec}(J)$ であり、キ・ファンの原理と固有値の主要化から導出された。
• 与えられた $zz$-相互作用を用いたモデルは、無限小極限において、標準的な2キュービットゲートモデルと同等またはそれ以上の計算能力を有するユニバーサル量子計算を実現する。
• 時間過負荷に基づく複雑さの測度は、ゲート複雑さと連続的複雑さの測度と同等であり、量子計算複雑さの統一的枠組みを提供する。