[論文レビュー] Simulating Quantum Correlations with Finite Communication

Oded Regev, Ben Toner|ArXiv.org|Aug 7, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 35被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、球面幾何と球面正四面体の体積計算に基づくプロトコルを用いて、次元 d の量子状態を共有する2者間の任意の双粒子量子相関を正確にシミュレートするために、2ビットの古典的通信十分であることを示している。これは、従来のアプローチが無限大の通信を要するのに対し、有限の通信――具体的にはわずか2ビット――で量子非局所的相関を完全に再現できることを示すことで、長年の未解決問題を解決するものである。

ABSTRACT

Assume Alice and Bob share some bipartite $d$-dimensional quantum state. A well-known result in quantum mechanics says that by performing two-outcome measurements, Alice and Bob can produce correlations that cannot be obtained locally, i.e., with shared randomness alone. We show that by using only two bits of communication, Alice and Bob can classically simulate any such correlations. All previous protocols for exact simulation required the communication to grow to infinity with the dimension $d$. Our protocol and analysis are based on a power series method, resembling Krivine's bound on Grothendieck's constant, and on the computation of volumes of spherical tetrahedra.

研究の動機と目的

• 2者が量子状態を共有する場合に、有限の通信で任意の量子相関をシミュレートできるかどうかという未解決問題を解明すること。
• 共有ランダムネスによるシミュレーション（失敗）と無限大の通信（成功）の間のギャップを埋め、最小通信コストを同定すること。
• 任意の R^n 内の単位ベクトル a と b に対して、E[αβ] = ⟨a,b⟩ を正確に再現するプロトコルを、2ビットの通信のみを用いて開発すること。
• 球面正四面体とクリヴィネ型の境界に基づく幾何学的・解析的枠組みを提供し、2ビットの十分性を証明すること。

提案手法

• Krivineのグロテンディーク定数に関する境界にインspiredされた累乗級数法を用いて、相関構造を分析する。
• 通信戦略を球面幾何学でモデル化し、アリスの出力と送信ビットに基づいて球面を領域に分割する。
• 異なる通信戦略における相関近似の誤差を抑え込むために、球面正四面体の体積を計算する。
• k=1 の直方体に基づく分割方式を用いてプロトコルを構築し、ε → 0 の極限において誤差を最小化する点で最適であることが示された。
• アリスの球面を4つの集合 R(α,c) に分割する決定的プロトコルを分析し、送信ビット c に基づいてボブの最適応答を導出する。
• プロトコルの最適性を形式的に証明するために、トポロジー的議論とボルスキー＝アーラムの定理の拡張が不可欠であると予想される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限の古典的通信のみを用いて、量子相関を正確にシミュレート可能か？ もしそうなら、最小通信コストは何か？
• RQ2 次元 d に依存せず、2ビットの通信のみで量子相関を正確にシミュレートするプロトコルは存在するか？
• RQ3 k=1 の直方体プロトコルは、ε が小さい場合の誤差項 B_n(ε) を最小化する点で最適と証明可能か？
• RQ4 量子相関をシミュレートする任意のプロトコルにおける、通信トランザクションの最小エントロピーは何か？
• RQ5 量子相関をシミュレートするプロトコルにおいて、たとえ1つのトランザクションの確率が非常に高くなっても、必ず非自明な通信が含まれるのだろうか？

主な発見

• 2ビットの古典的通信で、量子状態の次元 d にかかわらず、2者間の任意の双粒子量子相関を正確にシミュレートできる。
• 提案されたプロトコルは、高次元球面上の球面正四面体の幾何的性質と体積計算を活用することで、正確なシミュレーションを達成する。
• アリスの球面を彼女の出力と送信ビットに基づいて4つの領域に分割する決定的戦略に基づくプロトコルであり、ボブは誤差を最小化する最適応答をとる。
• k=1 の直方体プロトコルは最適であると予想されており、lim_{n→∞, ε→0} B_n(ε)/ε ≥ 8/π が成り立つことから、漸近的領域で誤差を最小化することが示唆される。
• 最大トランザクション確率に対する下界が確立された：任意の有効なプロトコルにおいて、1つのトランザクションが (3−√2)/2 ≈ 0.79 を超える確率で発生することは不可能であり、非自明な通信が避けられないことが示される。
• 解析により、共有ランダムネスのみでは量子相関をシミュレートできないことが示された。少なくとも1ビットの通信が必要であり、2ビットで十分である。