[論文レビュー] Simulating Turbulence Using the Astrophysical Discontinuous Galerkin Code TENET

Andreas Bauer, Kevin Schaal+4 more|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2016

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ひとこと要約

この論文は、宇宙論的文脈における非定常乱流をシミュレートすることを目的とした新しい天体物理学的不連続ガラーキン（DG）コード、TENETを紹介する。高次元DG離散化とコンactステンシル、効率的な並列化を用いることで、TENETは従来の有限体積法と同等の精度を達成しつつ、自由度を1.8倍少なくし、1.5倍速く実行可能であり、エクサスケール天体物理学的シミュレーションに向けた強力な計算効率と可能性を示している。

ABSTRACT

In astrophysics, the two main methods traditionally in use for solving the Euler equations of ideal fluid dynamics are smoothed particle hydrodynamics and finite volume discretization on a stationary mesh. However, the goal to efficiently make use of future exascale machines with their ever higher degree of parallel concurrency motivates the search for more efficient and more accurate techniques for computing hydrodynamics. Discontinuous Galerkin (DG) methods represent a promising class of methods in this regard, as they can be straightforwardly extended to arbitrarily high order while requiring only small stencils. Especially for applications involving comparatively smooth problems, higher-order approaches promise significant gains in computational speed for reaching a desired target accuracy. Here, we introduce our new astrophysical DG code TENET designed for applications in cosmology, and discuss our first results for 3D simulations of subsonic turbulence. We show that our new DG implementation provides accurate results for subsonic turbulence, at considerably reduced computational cost compared with traditional finite volume methods. In particular, we find that DG needs about 1.8 times fewer degrees of freedom to achieve the same accuracy and at the same time is more than 1.5 times faster, confirming its substantial promise for astrophysical applications.

研究の動機と目的

• 不連続ガラーキン（DG）法を用いた、天体物理学的シミュレーションに適した高次元・高効率・スケーラブルな流体力学ソルバーの開発。
• 計算天体物理学におけるベンチマーク問題である非定常乱流のシミュレーションにおいて、DG法の性能と精度を評価すること。
• DG法に基づくTENETのシミュレーションと、従来の2次精度有限体積法との間で、計算コスト、精度、並列スケーラビリティを比較すること。
• 特に滑らかな乱流に対して、DG法が将来のエクサスケールコンピューティングにおける天体物理学的応用に果たす可能性を評価すること。
• DG法が精度を維持または向上させつつ、有限体積法よりも優れた計算効率を達成できるかどうかを検討すること。

提案手法

• コードは、各要素内での高次多項式基底関数による解の表現を用いて、Euler方程式の不連続ガラーキン（DG）離散化を実装している。
• DG法は方程式の弱形式を採用し、要素界面での数値フラックスを用いて解くことで、高次精度と局所的保存性を実現している。
• 要素内ではモーダルまたはノーダル基底表現を用い、隣接要素とのみ直接通信することで、任意の精度順序を達成可能である。
• 時間積分には、安定性と精度を保つために、強安定性保存型ルンゲ・クッタ法を採用している。
• コードは、適応メッシュ細分化（AMR）をサポートする構造化直交座標メッシュ上で実装されており、乱流構造の効率的解像に適している。
• 並列化はMPIを用いた領域分割により実現され、SUPERMUCシステム上で最大4096コアまで優れた強スケーリングを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 TENETのような高次元不連続ガラーキンコードは、非定常乱流のシミュレーションにおいて、従来の2次精度有限体積法と同等の精度を達成できるか？
• RQ2 非定常流れのシミュレーションで同じ精度に到達する場合、DG法の計算コストは有限体積法と比べてどの程度か？
• RQ3 有限体積法と比較して、DG法が特定の精度に到達するために必要な自由度の削減はどの程度か？
• RQ4 並列環境下で解像度とプロセッサ数を増加させた場合、DG法の性能はどのようにスケーリングするか？
• RQ5 滑らかな天体物理学的流れにおいて、DG法は、角運動量やdiv B = 0制約などの保存性特性において、従来の有限体積法に優位性を示すか？

主な発見

• TENETにおけるDG実装は、2次精度有限体積法と比較して、非定常乱流シミュレーションで約1.8倍少ない自由度で同等の精度を達成している。
• 同等の乱流スペクトルを再現する条件下で、3次精度のDGシミュレーションは、最高解像度における2次精度有限体積法のシミュレーションと比較して1.53倍速い。
• 解像度が高くなるほどDG法の性能優位性が増大する：最高解像度において、DG_128_3実行はFV_512_2実行よりも1.53倍速く、自由度の削減は1.86倍に近づいている。
• DG法はSUPERMUC上で最大4096コアまで優れた強スケーリングを示しており、大規模分散システムにおける高い効率性を示している。
• DG法は滑らかな流れ領域で明確に角運動量を保存しており、これは標準的な有限体積法では本質的に満たされない性質である。
• DG法は基底関数レベルの制約を用いて、MHDにおけるdiv B = 0制約を強固に満たすことができ、より優れたMHDシミュレーションへの道筋を提供している。