[論文レビュー] Simulation of multivariate diffusion bridge

Mogens Bladt, Samuel Finch+1 more|arXiv (Cornell University)|May 29, 2014

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 10被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、結合された時間反転拡散過程を用いた、一般化可能で新規な多変量拡散ブリッジのシミュレーション手法を提案する。この手法により、離散的に観測されたストキャスティック・ディファレンシャル方程式（SDE）における尤度推定およびベイズ推論が効率的に行える。本手法は、前向き過程と反転過程の間の一致確率を高めるために結合を用いる。これにより、正確なブリッジを用いたリジェクションサンプリングおよびMCMCアルゴリズムが可能となり、計算複雑度は時間区間長に対して線形に増加する。

ABSTRACT

We propose simple methods for multivariate diffusion bridge simulation, which plays a fundamental role in simulation-based likelihood and Bayesian inference for stochastic differential equations. By a novel application of classical coupling methods, the new approach generalizes a previously proposed simulation method for one-dimensional bridges to the multi-variate setting. First a method of simulating approximate, but often very accurate, diffusion bridges is proposed. These approximate bridges are used as proposal for easily implementable MCMC algorithms that produce exact diffusion bridges. The new method is much more generally applicable than previous methods. Another advantage is that the new method works well for diffusion bridges in long intervals because the computational complexity of the method is linear in the length of the interval. In a simulation study the new method performs well, and its usefulness is illustrated by an application to Bayesian estimation for the multivariate hyperbolic diffusion model.

研究の動機と目的

• シミュレーションベース推論のための、多変量拡散ブリッジを効率的にシミュレートするという長年の課題に取り組む。
• リジェクションサンプリングの高いリジェクション率を克服するため、パスの交差確率を高めるために結合を活用する。
• 非定常的で非アフィンなモデルを含む広範な多変量拡散過程に適用可能な汎用的手法を開発する。
• 多変量ハイパボリック拡散のような複雑な拡散モデルに対して、正確なブリッジシミュレーションを介して実用的なベイズ推論を可能にする。

提案手法

• 初期状態 $a$ からの前向き過程と、終端状態 $b$ からの反転過程の2つの結合された拡散過程をシミュレートする。両過程の動的性質を設計し、反転過程が前向き過程と同じ分布に従うようにする。
• 古典的な結合技術を用いて、2つの過程間に依存関係を導入し、$[0,T]$ 内でパスが交差する確率を高める。
• 一致時刻 $\tau$ までの前向きパスと、$\tau$ から $T$ までの反転パスを連結することで、$a$ から $b$ へのパスとして近似された拡散ブリッジを構築する。
• リジェクションサンプリングを適用する。複数回、結合された過程をシミュレートし、それらが一致するまで繰り返すことで、許容可能なリジェクション確率を持つ近似ブリッジを生成する。
• 近似ブリッジをMCMCアルゴリズムのプロポーザルとして用いる。具体的には、正確な拡散ブリッジを標本とする擬似周辺メトロポリス・ハスティングス法と、より単純だがリジェクション率の高い代替手法を用いる。
• ギルサンフの公式と時間反転の性質を活用して、遷移密度を導出し、結合およびブリッジ構築の正しさを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高リジェクション率を示す従来のリジェクションサンプリング手法を回避する、単純で一般化可能な多変量拡散ブリッジのシミュレーション手法を構築できるか？
• RQ2 結合技術を多変量拡散過程に適用することで、パスの交差確率を高め、シミュレーション効率を向上させられるか？
• RQ3 時間区間 $T$ が長くなるに従って、本手法の計算効率はどの程度維持されるのか、特に長期間の設定においてどうか？
• RQ4 本手法は、多変量ハイパボリック拡散のような複雑で非アフィンな拡散モデルに適用可能か？また、正確なベイズ推論をサポートするか？

主な発見

• 提案手法は、リジェクションサンプリングにおけるリジェクション確率が、点ベースではなくパスベースのターゲットであり、結合による一致確率の向上のおかげで許容可能な水準に抑えられている。
• 本手法の計算複雑度は、時間区間長 $T$ に対して線形に増加するため、長時間区間に対しても効率的である。
• 本手法は、BladtとSørensen（2014）の1次元ブリッジシミュレーションを多次元へ一般化したものであり、高次元における顕著な技術的課題を克服している。
• 結合の導入により、前向きと反転拡散過程間の一致確率が向上し、1次元でも効率性が向上している。
• MCMCアルゴリズムを用いた正確な拡散ブリッジシミュレーションが可能となり、離散的に観測された拡散過程における正当な尤度推定およびベイズ推論が実現できる。
• シミュレーションスタディおよび多変量ハイパボリック拡散モデルへの応用を通じて、本手法の実用的有用性と優れた性能が示された。