[論文レビュー] Simulation of quasi-stationary distributions on countable spaces

Pablo Groisman, Matthieu Jonckheere|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 37被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、Fleming-Viotダイナミクスと$\mu$-リターン過程を用いて、可算状態空間上の準定常分布（QSD）をシミュレートする手法を提示する。固定点$\Phi(\mu)$（測度$\mu$を$\mu$-リターン過程の不変分布に写す写像）がQSDとちょうど一致することを確立し、リターン過程のダイナミクスを用いた反復的近似によってQSDを近似可能であることを示す。

ABSTRACT

Quasi-stationary distributions (QSD) have been widely studied since the pioneering work of Kolmogorov (1938), Yaglom (1947) and Sevastyanov (1951). They appear as a natural object when considering Markov processes that are certainly absorbed since they are invariant for the evolution of the distribution of the process conditioned on not being absorbed. They hence appropriately describe the state of the process at large times for non absorbed paths. Unlike invariant distributions for Markov processes, QSD are solutions of a non-linear equation and there can be 0, 1 or an infinity of them. Also, they cannot be obtained as Cesàro limits of Markovian dynamics. These facts make the computation of QSDs a nontrivial matter. We review different approximation methods for QSD that are useful for simulation purposes, mainly focused on Fleming-Viot dynamics. We also give some alternative proofs and extensions of known results.

研究の動機と目的

• 可算状態空間上の準定常分布（QSD）の実用的シミュレーション手法を開発すること。直接的なシミュレーションは非現実的である。
• 元の吸収型マコフ過程のQSDと$\mu$-リターン過程の不変分布との間の関係を確立すること。
• $\Phi(\mu)$に基づく反復的手法の理論的基盤を提供し、適切な条件下でQSDに収束することを示すこと。
• 収束速度、高次の固有ベクトル、およびドリフト付きランダムウォークにおけるFVダイナミクスを含む、QSDシミュレーションにおける未解決問題に取り組むこと。

提案手法

• 吸収状態0に到達した際に$\mu$で再起動する$\mu$-リターン過程を定義する。
• $\Phi(\mu)$を導入し、各初期測度$\mu$に対して$\mu$-リターン過程の不変分布を割り当てる写像を定義する。
• 測度$\nu$がQSDであるための必要十分条件が、$\Phi(\mu)$の固定点であることであることを証明し、QSDの存在をリターン過程のダイナミクスと結びつける。
• 条件付き時間発展$T_t\mu$の半群性質を用いて、長期的挙動とQSDへの収束を分析する。
• 多型分岐過程におけるKesten-Stigum定理を応用し、正規化された集団ベクトルのほとんど確実収束を用いて、有限状態空間におけるQSDのシミュレーションを行う。
• Fleming-Viotダイナミクスを、$N$個の粒子の経験的測度が$N \to \infty$の極限でQSDに収束する枠組みとして活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 写像$\Phi(\mu)$（$\mu$-リターン過程の不変測度を割り当てる）が、準定常分布に対応する固定点を持つための条件は何か？
• RQ2 $\Phi^n(\mu)$の反復的適用が準定常分布に収束するか？その収束に必要な十分条件は何か？
• RQ3 $N$粒子を用いたFleming-Viotダイナミクスが真の準定常分布をどの程度近似できるか？$N \to \infty$における収束速度は？
• RQ4 このシミュレーションフレームワークを、主固有ベクトル（QSD）に加えて、無限小生成作用素の他の固有ベクトルの推定に拡張可能か？
• RQ5 拡散過程によって駆動されるFleming-Viot過程において、有限時間内にジャンプ回数が蓄積しない条件は何か？

主な発見

• 測度$\nu$が準定常分布であるための必要十分条件は、写像$\Phi(\mu)$の固定点であること。ここで$\Phi(\mu)$は$\mu$を$\mu$-リターン過程の不変分布に写す。
• QSDの存在は、$\theta > 0$と$x \in \Lambda$が存在して$\mathbb{E}[e^{\theta \tau^x}] < \infty$となることと同値であり、$P(\tau^x > t) \to 1$（$x \to \infty$のとき、任意の$t > 0$で）を満たす条件下で成り立つ。
• Kesten-Stigum定理により、超臨界多型分岐過程では、正規化された集団ベクトルがほとんど確実に平均子孫行列の左固有ベクトルに収束し、これは一意のQSDに対応する。
• 有限状態空間では、超臨界多型分岐過程の正規化された集団ベクトルがほとんど確実にQSDに収束する。これにより、実用的なシミュレーション手法が得られる。
• 粒子数$N$のFleming-Viot過程の経験的分布は$N \to \infty$の極限でQSDに収束し、タグ付けされた粒子の分布も$Z^\nu$に収束する。
• $\mu$-リターン過程と写像$\Phi(\mu)$に基づく手法は、Cesàro平均や反復スキームと組み合わせることで、QSDのシミュレーションに頼れるフレームワークを提供する。