[論文レビュー] Simulation Results for U(1) Gauge Theory on Non-Commutative Spaces

Wolfgang Bietenholz, Antonio Bigarini+4 more|ArXiv.org|Aug 14, 2007

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ねじれ行列モデルの定式化を用いて、非可換（NC）空間上のU(1)ゲージ理論の非摂動的格子シミュレーションを提示する。これにより、2次元および4次元のNC QEDの数値的解析が可能になる。主な結果として、4次元ではダブルスケーリング極限（DSL）が、破れた移動対称性を示す安定な低エネルギー領域を生じ、光子が非可換な世界でも生存可能である可能性を示唆する。一方、2次元では、面積保存微分同相変換（APD）に対するウィルソンループの不変性が、摂動的でない方法で破れる。

ABSTRACT

We present numerical results for U(1) gauge theory in 2d and 4d spaces involving a non-commutative plane. Simulations are feasible thanks to a mapping of the non-commutative plane onto a twisted matrix model. In d=2 it was a long-standing issue if Wilson loops are (partially) invariant under area-preserving diffeomorphisms. We show that non-perturbatively this invariance breaks, including the subgroup SL(2,R). In both cases, d=2 and d=4, we extrapolate our results to the continuum and infinite volume by means of a Double Scaling Limit. In d=4 this limit leads to a phase with broken translation symmetry, which is not affected by the perturbatively known IR instability. Therefore the photon may survive in a non-commutative world.

研究の動機と目的

• U(1)ゲージ理論の非可換空間における非摂動的性質を調査すること。摂動論的手法ではUV/IR混合のため失敗するため。
• 2次元NC U(1)ゲージ理論におけるウィルソンループが面積保存微分同相変換（APD）に対して不変であるかどうか、長年の未解決問題を解消すること。
• 4次元NC QEDにおいて、摂動論的低エネルギー不安定性にもかかわらず、安定で物理的に実現可能な相が存在するかどうかを特定すること。特に、光子が生存可能かどうかを検証すること。
• ねじれエグッチ・カワイ（TEK）行列モデルへの写像を用いて、非可換ゲージ理論の非摂動的フレームワークを確立すること。
• ダブルスケーリング極限（DSL）を用いて、連続的かつ無限大の体積への外挿を行い、良好に定義された非可換幾何学を保証すること。

提案手法

• 非可換平面をねじれエグッチ・カワイ（TEK）行列モデルに写像し、サイズ $ N \times N $ のユニタリ行列 $ U_{\nu} $ を用いて数値的シミュレーションを可能にする。
• スター積形式を用いて非可換ゲージ作用を定義する：$ S[A] = \frac{1}{4} \int d^2x\, F_{\mu\nu} \star F_{\mu\nu} $、ここで $ F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu + ig[A_\mu, A_\nu]_\star $。
• 行列モデルにおける非可換ウィルソンループを $ W_{\mu\nu}(I\times J) = \frac{1}{N} Z_{\mu\nu}^{IJ} \mathrm{Tr}[U_\mu^I U_\nu^J U_\mu^{\dagger I} U_\nu^{\dagger J}] $ と定義する。これはスターゲージ不変であり、数値的に取り扱いやすい。
• ダブルスケーリング極限（DSL）を実装する。$ a \to 0 $、$ N \to \infty $ とし、$ Na^2 = \text{const.} $ を満たすことで、固定の非可換性パラメータ $ \theta \propto N / \beta^2 $ を持つ連続的かつ無限大の非可換平面に到達する。
• 移動対称性の破れのオーダーパラメータとして、オープンポリコフラインを測定する：$ P_\mu(n) = \mathcal{P} \exp_\star\left(ig \int_x^{x+\tilde{p}_\mu} A_\mu(\xi) d\xi_\mu \right) $。
• さまざまな $ \beta $、$ N $、$ a $ の条件下でシミュレーションを実施し、制御されたスケーリングを用いてDSLに外挿することで、連続極限と整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元非可換U(1)ゲージ理論において、ウィルソンループの面積保存微分同相変換（APD）に対する不変性が、非摂動的にも保たれるか？
• RQ2 4次元NC QEDにおいて、摂動論的低エネルギー不安定性にもかかわらず、安定で低エネルギー有限な相が存在可能か？
• RQ3 ダブルスケーリング極限において、光子が非可換時空において物理的自由度として実現可能か？
• RQ4 ダブルスケーリング極限が、2次元および4次元の両方において、良好に定義された連続的非可換幾何学を生じるか？
• RQ5 4次元NC QEDにおける相転移の性質は何か？移動対称性の自発的破れに対応するか？

主な発見

• 2次元では、非摂動的シミュレーションにより、ウィルソンループの面積保存微分同相変換（APD）に対する不変性が破れることが示され、特に $ SL(2,\mathbb{R}) $ の部分群に対しても同様である。これは、残存対称性がないことを示唆する。
• 4次元では、ダブルスケーリング極限（DSL）により、中程度の結合定数の相が得られ、移動対称性が破れる。この相は低エネルギーで安定であり、摂動論的に知られている低エネルギー不安定性を示さない。
• オープンポリコフラインはヒステリシスを示し、$ \beta \simeq 0.35 $ で一次相転移を示す。破れた相は $ \beta \propto N^2 $ のように拡張し、自発的対称性の破れを確認する。
• 破れた相における光子分散関係は線形かつ質量ゼロであり、自発的対称性の破れに伴うナムブ＝ゴールドストーンモードと整合する。
• 固定された $ \theta $ に対して、DSLの軌道は常に破れた相に終着する。DSLでは $ \beta \propto \sqrt{N} $ であるが、破れた相は $ \beta \propto N^2 $ のように拡張するため、物理的意味を持つ。
• 数値的結果により、TEKモデルが有限 $ N $ において非可換U(1)ゲージ理論を正しく再現することが確認され、非可換理論の非摂動的解析に向けた行列モデル手法の妥当性が裏付けられた。