[論文レビュー] Simulations of Quantum Turing Machines by Quantum Multi-Stack Machines

Daowen Qiu|ArXiv.org|Jan 30, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、拡張されたカウンティング機能（n > 1 のとき ±1, ±2, ..., ±n）を備えた量子マルチスタックマシン（QMSMs）と量子マルチカウンターマシン（QMCMs）を導入し、ユニタリな進化を保証するための適切な条件（W-F）を確立する。QMSMsが多項式時間の遅れで量子チューリングマシン（QTMs）を効率的に $(n,t)$-シミュレートできることを示し、QMCMsがQMSMsを同じ時間計算量でシミュレートできることを示す。これにより、量子モデルにおけるQTMsとQMSMs/QMCMsの計算的同等性が確立される。

ABSTRACT

As was well known, in classical computation, Turing machines, circuits, multi-stack machines, and multi-counter machines are equivalent, that is, they can simulate each other in polynomial time. In quantum computation, Yao [11] first proved that for any quantum Turing machines $M$, there exists quantum Boolean circuit $(n,t)$-simulating $M$, where $n$ denotes the length of input strings, and $t$ is the number of move steps before machine stopping. However, the simulations of quantum Turing machines by quantum multi-stack machines and quantum multi-counter machines have not been considered, and quantum multi-stack machines have not been established, either. Though quantum counter machines were dealt with by Kravtsev [6] and Yamasaki {\it et al.} [10], in which the machines count with $0,\pm 1$ only, we sense that it is difficult to simulate quantum Turing machines in terms of this fashion of quantum computing devices, and we therefore prove that the quantum multi-counter machines allowed to count with $0,\pm 1,\pm 2,...,\pm n$ for some $n>1$ can efficiently simulate quantum Turing machines. Therefore, our mail goals are to establish quantum multi-stack machines and quantum multi-counter machines with counts $0,\pm 1,\pm 2,...,\pm n$ and $n>1$, and particularly to simulate quantum Turing machines by these quantum computing devices.

研究の動機と目的

• 量子プッシュダウンオートマトン（QPDAs）を複数のスタックに一般化することで、量子マルチスタックマシン（QMSMs）を定義・形式化し、すべてのスタック構成に対してユニタリな進化を保証するための適切な条件（W-F）を導入する。
• 量子マルチカウンターマシン（QMCMs）を、従来の量子カウンターオートマトン（QCAs）とは異なり、n > 1 のとき 0, ±1, ±2, ..., ±n の拡張されたカウンティング機能を備えた形で導入し、そのW-F条件を定義する。
• ±n（n > 1）でカウントできる任意のQMCMが、0, ±1 のみでカウントするQMCMによって効率的にシミュレート可能であることを示す。
• 量子チューリングマシン（QTMs）がQMSMsによって$(n,t)$-シミュレート可能であり、かつQMCMsがQMSMsによって同じ時間計算量でシミュレート可能であることを証明する。
• QTMs、QMSMs、QMCMsの間の量子計算的同等性の基盤を構築し、古典的同等性を量子領域へと拡張する。

提案手法

• 量子プッシュダウンオートマトン（QPDAs）を複数スタックへの一般化により量子マルチスタックマシン（QMSMs）として定義し、状態遷移関数が全スタック構成に対して作用するようにする。
• ユニタリな進化に基づくQMSMsの適切な条件（W-F）を定義し、すべてのスタック構成において遷移振幅がユニタリティ制約を満たすように保証する。
• 従来のQCAsとは異なり、遷移において完全なカウンターステート情報を使用する、拡張されたカウンティング（0, ±1, ..., ±n for n > 1）を備えた量子マルチカウンターマシン（QMCMs）を導入する。
• 時間発展のユニタリティを保証するQMCMsのW-F条件を確立し、先行研究よりも簡潔な定式化を用いる。
• QTMのテープとヘッド位置をスタックおよびカウンターステートに符号化することで、QMSMによるQTMの$(n,t)$-シミュレーションを構築し、時間計算量を保持する。
• ユニタリティと時間効率を保ちながら、0, ±1 のみでカウントするQMCMによって、拡張カウンティング（±n, n > 1）を備えたQMCMをシミュレートするためのカウンターエンコーディング方式を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子マルチスタックマシン（QMSMs）は、ユニタリな進化を保証する適切な条件（W-F）を備えて正式に定義可能であり、かつ量子チューリングマシン（QTMs）を効率的にシミュレート可能か？
• RQ2 拡張カウンティング（0, ±1, ..., ±n for n > 1）を備えた量子マルチカウンターマシン（QMCMs）は、多項式時間のオーバーヘッドでQTMsをシミュレート可能か？
• RQ3 ±n（n > 1）でカウントするQMCMを、0, ±1 のみでカウントするQMCMによって、時間計算量とユニタリティを保ったままシミュレート可能か？
• RQ4 提案されたQMSMsおよびQMCMsのW-F条件は、既存の量子カウンターオートマトン（QCAs）のそれらと比較して、複雑さと表現力においてどのように異なるか？
• RQ5 量子マルチスタックマシンは、同じ時間計算量で量子マルチカウンターマシンをシミュレート可能であり、これによりQTMsの階層的シミュレーションが可能になるか？

主な発見

• 本稿では、QPDAsを複数スタックに一般化することで量子マルチスタックマシン（QMSMs）を定義し、システムのユニタリな進化を保証する簡潔なW-F条件を提示する。
• 拡張カウンティング機能（0, ±1, ..., ±n for n > 1）を備えた量子マルチカウンターマシン（QMCMs）が導入され、そのユニタリティを保証するW-F条件が定式化されている。
• ±n（n > 1）でカウントする任意のQMCMは、0, ±1 のみでカウントするQMCMによって効率的にシミュレート可能であり、時間計算量が保持される。
• 量子チューリングマシン（QTMs）は、QMSMsによって多項式時間の遅れ $O(n + t)$ で$(n,t)$-シミュレート可能であり、計算的同等性が確立される。
• QMCMsはQMSMsによって同じ時間計算量でシミュレート可能であり、QMSMsがQTMsのシミュレーションにおいてQMCMs以上に強力であることが確認される。
• QMSMsおよびQMCMsのW-F条件は、従来のQCAsのそれらよりも簡潔であり、量子オートマトン設計における明確性と実用性が向上する。