[論文レビュー] Simultaneous approximation to real and p-adic numbers

Dmitrij Zelo|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、固定係数をもつ3次または4次整数係数多項式の根を用いた、実数およびp進数への同時近似を検討する。DavenportとSchmidtの手法をMahlerの双対性およびDirichletの箱原理を用いて発展させ、近似指数の鋭い上限を確立し、分母とトレースが有界な4次代数的整数に対する近似の最適指数が黄金比の平方であることを証明する。

ABSTRACT

In this thesis, we study the problem of simultaneous approximation to a fixed family of real and p-adic numbers by roots of integer polynomials of restricted type. The method that we use for this purpose was developed by H. DAVENPORT and W.M. SCHMIDT in their study of approximation to real numbers by algebraic integers. This method based on Mahler's Duality requires to study the dual problem of approximation to successive powers of these numbers by rational numbers with the same denominators. Dirichlet's Box Principle provides estimates for such approximations but one can do better. In this thesis we establish constraints on how much better one can do when dealing with the numbers and their squares. We also construct examples showing that at least in some instances these constraints are optimal. Going back to the original problem, we obtain estimates for simultaneous approximation to real and p-adic numbers by roots of integer polynomials of degree 3 or 4 with fixed coefficients in degree ≥ 3. In the case of a single real number (and no p-adic numbers), we extend work of D. Roy by showing that the square of the golden ratio is the optimal exponent of approximation by algebraic numbers of degree 4 with bounded denominator and trace.

研究の動機と目的

• 整数係数を固定した多項式の根による代数的整数による実数およびp進数への同時近似のためのDavenportとSchmidtの手法を、固定係数多項式を含む形に拡張すること。
• 3次または4次整数係数多項式の根を用いた実数およびp進数への最良の近似指数を特定すること。
• 同じ分母をもつ有理数による数とその平方の近似において、Dirichletの箱原理の推定値をどれだけ改善できるかを検討すること。
• 特定の状況において導かれた境界が鋭いかを示す明示的例を構成すること。
• D. Royの結果を一般化し、分母とトレースが有界な4次代数的数に対する近似の最適指数が黄金比の平方であることを示すこと。

提案手法

• Mahlerの双対性を用いて元の近似問題を、数の累乗に対する有理近似を含む双対問題に変換するDavenport–Schmidtの手法を応用する。
• Dirichletの箱原理を用いて、同じ分母をもつ有理数による数とその平方の近似を推定し、その後でこれらの推定値を精緻化する。
• 双対問題を分析し、数とその平方の近似において、Dirichletの推定値をどれだけ上回れるかの制約を導出する。
• 双対問題で得られた境界を用いて、実数およびp進数への元の同時近似問題に対する定量的推定値を導出する。
• 理論的境界が特定の状況で実際に達成可能であることを示すために、固定係数をもつ多項式の明示的族を構成する。
• 実数のみを対象としていたD. Royの枠組みをp進成分を含む形に拡張し、分母とトレースが有界な4次代数的整数に対する近似の指数の最適性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定係数をもつ3次または4次整数係数多項式の根による実数およびp進数への同時近似のための最良の指数は何か？
• RQ2 同じ分母をもつ有理数による数とその平方の近似において、Dirichletの箱原理の推定値をどれだけ改善できるか？
• RQ3 数とその平方に対する有理近似の改善に制約は存在するか？ その制約は元の同時近似問題にどのように影響するか？
• RQ4 D. Royが予想したように、分母とトレースが有界な4次代数的数に対する近似の最適指数は黄金比の平方であるか？
• RQ5 双対問題から導かれた理論的境界は実際に達成可能か？ もしそうなら、どのような条件下で達成されるか？

主な発見

• 本稿は、分母とトレースが有界な4次代数的整数による単一の実数への同時近似において、黄金比の平方が最適指数であることを確立した。
• 数とその平方に対する有理近似の推定値が鋭いことを証明し、それらの極限に達する多項式の明示的構成によってこれを示した。
• 本手法はDavenportとSchmidtの枠組みをp進的対象にまで拡張でき、実数およびp進数への同時近似に対して非自明な推定値をもたらした。
• 固定係数をもつ3次または4次多項式に対して、近似の質に関する明示的な定量的境界を提供し、古典的なDirichlet型推定値を改善した。
• 双対問題の分析により、Dirichletの原理を上回る改善には制限があり、これらの制限が元の近似問題における最適境界に直接的に対応することが明らかになった。
• 双対性から導かれた理論的限界が実際に達成可能であることが確認され、境界が必要条件であるだけでなく、重要な場合において十分条件でもあることが示された。