[論文レビュー] Simultaneous Communication Protocols with Quantum and Classical Messages

Dmitry Gavinsky, Oded Regev+1 more|ArXiv.org|Jul 17, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 14被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、一方の参加者が量子メッセージを、もう一方が古典的メッセージを用いる同時メッセージ送信（SMP）プロトコルを調査し、量子メッセージがサイズ O(qc) ビット（確率的）または O(qc log q) ビット（決定的）の古典的メッセージによって効率的にシミュレート可能であることを示している。ここで q は量子ビット数、c は古典的ビット数である。主な結果は、関数的問題において、量子-古典的SMPプロトコルは古典的-古典的プロトコルに対して超多項式的な利点を提供しないことである。これは、Wim van Dam が提起した、ハイブリッドモデルにおける量子フィンガープrintの限界に関する問いを解決するものである。

ABSTRACT

We study the simultaneous message passing (SMP) model of communication complexity, for the case where one party is quantum and the other is classical. We show that in an SMP protocol that computes some function with the first party sending q qubits and the second sending c classical bits, the quantum message can be replaced by a randomized message of O(qc) classical bits, as well as by a deterministic message of O(q c log q) classical bits. Our proofs rely heavily on earlier results due to Scott Aaronson. In particular, our results imply that quantum-classical protocols need to send Omega(sqrt{n/log n}) bits/qubits to compute Equality on n-bit strings, and hence are not significantly better than classical-classical protocols (and are much worse than quantum-quantum protocols such as quantum fingerprinting). This essentially answers a recent question of Wim van Dam. Our results also imply, more generally, that there are no superpolynomial separations between quantum-classical and classical-classical SMP protocols for functional problems. This contrasts with the situation for relational problems, where exponential gaps between quantum-classical and classical-classical SMP protocols are known. We show that this surprising situation cannot arise in purely classical models: there, an exponential separation for a relational problem can be converted into an exponential separation for a functional problem.

研究の動機と目的

• 一方の参加者が量子メッセージを、もう一方が古典的メッセージを用いる場合の同時メッセージ送信（SMP）プロトコルの能力を調査すること。
• 関数的問題において、量子-古典的SMPプロトコルが古典的-古典的プロトコルに対して顕著な利点を達成できるかどうかを特定すること。
• Wim van Dam が提起した、ハイブリッド量子-古典的環境における量子フィンガープリントの限界に関する最近の未解決問題を解消すること。
• 特に等価関数（Equality function）に対して、SMPプロトコルにおける量子メッセージの古典的シミュレーションのタイトな境界を確立すること。
• 関数的問題と関係的問題の通信複雑性における関係を明確にすること、特にYaoの原理を用いた分析において。

提案手法

• 1ウェイ通信複雑性に関するAaronsonの結果を活用し、SMPプロトコルにおける量子メッセージの古典的シミュレーションを限定する。
• プライベートコインおよびパブリックコイン通信モデルを用いて、量子メッセージの確率的および決定的古典的シミュレーションの境界を導出する。
• Yaoの原理を適用し、分布的複雑度の結果を最悪ケース複雑度の境界に変換することで、関係的問題から関数的問題への還元を可能にする。
• 量子状態同定技術と誤り訂正符号技術を組み合わせることで、O(qc log q) ビットの古典的ビットを用いた量子メッセージの決定的シミュレーションを構築する。
• 等価関数（Equality function）を分析し、量子-古典的SMPプロトコルにおける下界 Ω(√(n/log n)) を導出し、古典的プロトコルの Θ(√n) の境界と比べて顕著な改善がないことを示す。
• ミニマックス定理と分布的複雑度を用いて、古典的モデルにおける関係的問題についての指数的分離が、出力サイズが大きすぎない限り、関数的問題についても同様の分離を示すことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数的問題において、量子-古典的SMPプロトコルは古典的-古典的プロトコルに対して超多項式的な利点を達成できるか？
• RQ2 他方が c 個の古典的ビットを送信する場合、q 個の量子ビットの量子メッセージをシミュレートするために必要な古典的通信コストはどの程度か？
• RQ3 1つのメッセージが量子ではなく古典的である場合、量子フィンガープリント技術は依然として有効であるか？
• RQ4 古典的モデルにおいて関係的問題について指数的分離が成立する場合、それを関数的問題についての指数的分離に変換できるか？
• RQ5 特に等価関数のような全関数において、ハイブリッド量子-古典的SMPモデルにおける量子スピードアップに根本的な制限があるか？

主な発見

• q 個の量子ビットと c 個の古典的ビットを用いるプライベートコイン量子-古典的SMPプロトコルは、アリスが O(qc) ビット、ボブが c ビットを用いるプライベートコイン古典的-古典的プロトコルによってシミュレート可能である。
• q 個の量子ビットと c 個の古典的ビットを用いるプライベートコイン量子-古典的SMPプロトコルは、アリスが O(qc log q) ビットの古典的ビットを用い、決定的メッセージを送信するプライベートコイン古典的-古典的プロトコルによってシミュレート可能である。
• n ビットの文字列に対する等価関数（Equality function）について、量子-古典的SMPプロトコルは Ω(√(n/log n)) ビット/量子ビットを要するが、これは古典的-古典的プロトコルの Θ(√n) の境界と比べて顕著に優れているとは言えない。
• 関数的問題において、量子-古典的SMPプロトコルと古典的-古典的プロトコルとの間には超多項式的な分離は存在せず、関係的問題ではそのようなギャップが既知であるのとは対照的である。
• 任意の関係的問題について、2つの古典的モデル間で指数的分離が成立する場合、出力サイズが大きすぎない限り、関数的問題についても同様の分離が成立する。
• これらの結果は、量子-古典的SMPプロトコルが、量子-量子プロトコル（例：量子フィンガープリント）で観察されるような指数的スピードアップを達成できないことを示唆しており、Wim van Dam が提起した問いを解決する。