[論文レビュー] Simultaneous dense and nondense orbits for toral automorphisms

Jimmy Tseng|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、2次元トーラス上の双曲的トーラス自己同型の対に対して、一方の写像の下で前向き軌道が再帰的であり、他方の写像の下で再帰的でない点の集合が、非可換であっても、稠密かつ非可算であることを示している。証明は幾何的構成とバナッハ・ベールの定理に基づいており、このような混合軌道行動の広がりを示している。

ABSTRACT

We show that, for pairs of hyperbolic toral automorphisms on the 2-torus, the points with dense forward orbits under one map and nondense forward orbits under the other is a dense, uncountable set. The pair of maps can be noncommuting. Our main tools are a geometric construction and the Baire Category theorem.

研究の動機と目的

• 2次元トーラス上の2つの異なる双曲的トーラス自己同型の下で、稠密かつ非稠密な前向き軌道が共存するかを調査すること。
• トーラス上の力学系の複雑さにもかかわらず、このような混合軌道行動が位相的に広がっているかどうかを特定すること。
• 非可換力学系における軌道構造の理解を拡張し、異なる自己同型の下で対照的な軌道行動を示す点の広がりを同定すること。
• 2つの異なる自己同型の下で、異なる力学的行動を示す点の、大きな非可算集合の存在を確立すること。

提案手法

• 2つのトーラス自己同型の下での軌道の分布を同時に分析するための幾何的構成を用いる。
• バナッハ・ベールの定理を適用して、一方の写像の下で稠密な軌道、他方の写像の下で非稠密な軌道を持つ点の集合が2次元トーラス上で稠密であることを証明する。
• 実固有値が±1に等しくない線形でアノソフ写像である双曲的トーラス自己同型に焦点を当てる。
• 各写像の下での前向き軌道を別々に分析し、位相空間における稠密性の性質を比較する。
• 2次元トーラスの位相的構造と残渣集合の性質を用いて、混合軌道集合の非可算性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つの双曲的トーラス自己同型の下で前向き軌道が稠密であるが、他方の写像の下で非稠密であるような点が存在するか？
• RQ2 このような点の集合は、2次元トーラス上で位相的に大きく——具体的には稠密かつ非可算である——か？
• RQ3 2つの自己同型が可換でない場合でも、この現象は成立するか？
• RQ4 トーラス上の力学系における混合軌道行動の広がりを証明するために、どのような位相的道具が利用可能か？

主な発見

• 1つの自己同型の下で前向き軌道が稠密であり、他方の自己同型の下で非稠密である点の集合は、2次元トーラス上で稠密である。
• この集合は非可算であり、混合力学的行動の豊かで複雑な構造を示している。
• 2つのトーラス自己同型が可換でない場合でも、この結果は成り立つ。これは、現象の頑健性を示している。
• バナッハ・ベールの定理は、混合軌道点の集合の位相的大きさを証明する上で中心的な役割を果たしている。