[論文レビュー] Simultaneous determination of coefficients and internal source of a diffusion equation from a single measurement

Yavar Kian|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2020

Photoacoustic and Ultrasonic Imaging被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、1つの境界測定値のみを用いて、古典的および時間分数階の対流拡散方程式における拡散係数、源項、および初期条件を同時に同定する、新しい逆問題手法を提示する。この手法は、測定が最終時刻に近い任意に小さな時間間隔に限定されても、一意的な回復を達成する。これは、熱音響および光音響トモグラフィーに関連する時間分数階モデルへの拡張を含む。

ABSTRACT

This article is devoted to the inverse problem of determining simultaneously several class of coefficients and an internal source (a source term or an initial condition) appearing in a diffusion equation from a single boundary measurement. Our problem can be formulated as the simultaneous determination of information about a diffusion process (velocity field, density of the medium) and of the source of diffusion. We consider this problems in the context of a classical diffusion process described by a convection-diffusion equation as well as an anomalous diffusion phenomena described by a time fractional diffusion equation. For time fractional diffusion equations, we obtain our results from a single boundary measurement made on an interval in time corresponding to any arbitrary small neighborhood of the final time of measurement. Some of the problems under consideration in this paper can be seen as the fractional formulation of the so called thermoacoustic and photoacoustic tomography problem considered with a single boundary input.

研究の動機と目的

• 1つの境界測定値から、拡散係数、源項、初期条件といった複数の未知パラメータを回復する逆問題に対処すること。
• 測定が最終時刻に近い小さな時間領域に限定される状況において、既存の逆問題手法を時間分数階拡散方程式に拡張すること。
• 標準的拡散および異常拡散プロセスに適用可能な統一的な枠組みを提供すること。
• 1つの境界入力のみを用いて、熱音響および光音響トモグラフィーに類似した問題をモデル化・解明すること。
• 1つの測定設定において複数の未知量を同時に回復する際の一意性および安定性の結果を確立すること。

提案手法

• 対流拡散および時間分数階拡散方程式の文脈において逆問題を定式化する。
• 最終時刻に近い任意に小さな時間間隔にわたる1つの境界測定値を用いて、未知係数および源を同定する。
• 逆問題および分数階微積分の技術を用いて、一意性および安定性の結果を導出する。
• 積分表現およびカルレマン推定を用いて、未知パラメータの同定可能性を分析する。
• 古典的および異常拡散の両状態を考慮し、分数階モデルが記憶効果を捉えることを想定する。
• 最小限のデータ入力で解ける方程式系に逆問題を還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡散方程式における複数の未知係数および源項が、1つの境界測定値から一意に特定可能か。
• RQ2 測定が最終時刻に近い小さな時間領域に限定される場合、時間分数階拡散方程式においても同様の未知量を回復可能か。
• RQ3 提案手法は、限られたデータを用いた熱音響および光音響トモグラフィーの逆問題とどのように関連するか。
• RQ4 複数の未知量を同時に回復する際の一意性および安定性を保証する数学的条件は何か。
• RQ5 初期条件を源項および拡散係数と併せて未知量として含める場合、この手法を拡張可能か。

主な発見

• 本稿では、古典的対流拡散方程式において、1つの境界測定値から拡散係数、源項、初期条件を一意に回復できることを確立した。
• 時間分数階拡散方程式においても、測定が最終時刻に近い任意に小さな時間間隔に限定されても、同様に一意的な同定が達成可能である。
• 結果は、1つの境界入力でのみ処理可能な、熱音響および光音響トモグラフィー問題の分数階定式化に直接適用可能である。
• 同定可能性を保証するため、カルレマン推定や積分表現といった高度な解析的手法を用いる。
• 複雑な拡散挙動が存在する状況においても、同時に再構成する際の安定性および一意性が示された。
• 本研究は、複数の未知量および分数階ダイナミクスを含む、拡散過程における逆問題の理論的基盤を拡張した。