[論文レビュー] Simultaneous Diophantine Approximation in Function Fields

Zhiyong Zheng|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正の特性をもつ関数体における数の幾何学の枠組みを確立し、古典的な同時ディオファントス近似結果を一般化する。任意の $ n $ 個の $ k_\infty $ 内の元に対して、すべての $ ||x\theta_i|| $ が同時に $ (q|H|)^{-1/n} $ 以下に抑えられる共通分母多項式 $ x $ が存在することを証明し、リウヴィル–マーラー定理を高次元に拡張するとともに、連分数を用いて二次代数的関数の正確な近似定数を特定する。

ABSTRACT

There are abundant results on Diophantine approximation over fields of positive characteristic (see the survey papers [13, 25]), but there is very little information about simultaneous approximation. In this paper, we develop a technique of \geometry of numbers" in positive characteristic, so that we may generalize some of the classical results on simultaneous approximation to the case of function fields. More precisely, we approximate a finite set of Laurent series by rational functions with a common denominator. In particular, the lower bound results we obtain may be regarded as a high dimensional version of the Liouville{ Mahler Theorem on algebraic functions of degree n. As an application, we investigate binary quadratic forms, and determine the exact approximation constant of a quadratic algebraic function. Finally, we give two examples using continued fractions.

研究の動機と目的

• 正の特性をもつ関数体における同時ディオファントス近似のための数の幾何学的アプローチを開発すること。
• リウヴィル–マーラー定理を複数のローラン級数の同時近似に一般化すること。
• $ k_\infty $ 内の二次代数的関数の正確な近似定数 $ \tau(\alpha) $ を特定すること。
• 二次代数的要素の連分数展開の構造を分析し、その部分商と近似定数との関係を明らかにすること。
• 部分商の最大次数と最小多項式の判別式との関連を確立すること。

提案手法

• 加法群 $ k_\infty / K $ 上のハール測度を用いて分数部分の分布を分析する。
• ミンコフスキーの線形形式の定理（補題 2.4）を適用し、連続最小値を用いて同時近似の境界を導出する。
• 距離 $ ||\alpha|| = \inf_{A \in K} |\alpha - A| $ を定義し、$ \alpha $ から $ K $ 内の最も近い多項式までの距離を表す。
• 連分数展開 $ P_n/Q_n $ を用いて $ k_\infty $ 内の近似の質を分析する。
• 近似定数 $ \tau(\alpha) = \liminf_{n \to \infty} \frac{1}{|a_n|} $ を定義し、$ a_n $ を部分商とする。
• 部分商の最大次数 $ D(\alpha) $ を最小多項式の判別式 $ \delta $ および二進二次形式の値函数 $ t(f) $ と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的なリウヴィル–マーラー定理が、正の特性をもつ関数体における同時近似に拡張可能か。
• RQ2 共通分母をもつ $ k_\infty $ 内のローラン級数の有限集合に対して、最良の同時近似定数は何か。
• RQ3 二次代数的関数の連分数展開における部分商の次数は、その近似定数とどのように関係するか。
• RQ4 マーコフスぺクトルの関数体版は存在するか。また、実数の場合と同様の構造を示すか。
• RQ5 どのような条件下で $ k_\infty $ 内の二次代数的関数が悪く近似可能であるとされ、その近似定数はどのように計算できるか。

主な発見

• 任意の $ n $ 個の元 $ \theta_1, \dots, \theta_n \in k_\infty $ および $ |H| \geq 1 $ を満たす $ H \in k_\infty $ に対して、$ \max_{1 \leq i \leq n} ||x\theta_i|| \leq (q|H|)^{-1/n} $ かつ $ 1 \leq |x| \leq |H| $ を満たす多項式 $ x \in K $ が存在する。これは同時近似境界を証明する。
• $ \alpha $ が二次代数的関数であるとき、近似定数 $ \tau(\alpha) $ は $ \tau(\alpha) = q^{-D(\alpha)} $ を満たし、ここで $ D(\alpha) $ は部分商の最大次数である。
• 二次代数的要素 $ \alpha $ に対して、最大部分商次数は $ D(\alpha) = \frac{1}{2} \deg \delta + t(f) $ を満たす。ここで $ \delta $ は判別式、$ t(f) $ は二進二次形式の最大値函数である。
• $ \alpha $ が $ k $ 上整ならば、$ D(\alpha) = \frac{1}{2} \deg \delta $ であり、これは整関数の場合に境界が厳密に達成されることを示す。
• 近似定数 $ \tau(\alpha) = q^{-d} $ は、$ \alpha = \frac{1}{2}(\sqrt{(aT+b)^2 + 4} - (aT+b)) $ に対して達成される。ここで $ a \in \mathbb{F}_q^* $、$ b \in \mathbb{F}_q $、$ d = \deg(aT + b) $ である。
• 古典的な意味での関数体版のマーコフスぺクトルは存在しない。なぜなら、$ \tau(\alpha) = q^{-1} $ を満たす $ \alpha $ が無限個存在し、それらは標準的連分数例と同値でないからである。