[論文レビュー] Simultaneous Gaussian quadrature for Angelesco systems

D. S. Lubinsky, Walter Van Assche|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2016

Mathematical functions and polynomials参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、アンヘルゲスコ系におけるタイプIIの多重直交多項式を用いて、不連続な区間上の2つの積分の同時ガウス求積を調査する。ノードが対応する区間内にあるとき、求積係数が正であることを確立し、関数および測度の滑らかさ条件の下で収束を証明し、ベクトル平衡問題と重み付き多項式近似を用いて係数の推定を行う。

ABSTRACT

We investigate simultaneous Gaussian quadrature for two integrals of the same function $f$ but on two disjoint intervals. The quadrature nodes are zeros of a type II multiple orthogonal polynomial for an Angelesco system. We recall some known results for the quadrature nodes and the quadrature weights and prove some new results about the convergence of the quadrature formulas. Furthermore we give some estimates of the quadrature weights. Our results are based on a vector equilibrium problem in potential theory and weighted polynomial approximation.

研究の動機と目的

• 2つの不連続な区間上の積分に対して、同一のノード集合を用いた同時ガウス求積規則を分析すること。
• アンヘルゲスコ系における求積係数の符号、分布、漸近的挙動を特定すること。
• 測度の台が不連続な場合の滑らかな関数に対して、求積公式の収束を確立すること。
• ポテンシャル論と多重直交多項式を用いて、求積係数の定量的推定を導出すること。
• 古典的ガウス求積の既知の結果を、多重直交多項式を用いた同時多次元設定へと拡張すること。

提案手法

• アンヘルゲスコ系における多指数測度に対して、タイプIIの多重直交多項式を用いる。各測度は不連続な区間上に台を持つ。
• ポテンシャル論におけるベクトル平衡問題を適用して、求積ノードの極限的分布を記述する。
• 重み付き多項式近似技術を用いて、求積係数の漸近的挙動を分析する。
• 多重直交性の構造を活用して、ラグランジュ基底多項式を測度に対して積分することで求積係数を導出する。
• 各区間上で通常の直交多項式に多重直交多項式を因数分解する。
• クリスティオフェル関数および漸近的スペクトル論の既知の結果を応用して、求積係数の大きさを推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかさクラスに属する関数に対して、同時求積規則が真の積分に収束する条件は何か？
• RQ2 ノードが対応する測度の台内にあるとき、求積係数の符号は何か？
• RQ3 ノード数が増加する際、求積係数はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ4 ポテンシャル論におけるベクトル平衡問題によって、求積ノードの分布を特徴づけられるか？
• RQ5 アンヘルゲスコ設定における変動する重みに対して、求積係数とクリスティオフェル関数の関係は何か？

主な発見

• ノードが測度の対応する台区間内にあるとき、求積係数は厳密に正であり、すなわち $\lambda_{k,rn}^{(j)} > 0$ が $x_{k,rn} \in [a_j,b_j]$ のとき成り立つ。
• 求積規則は、次数が最大 $(r+1)n - 1$ 以下のすべての多項式に対して正確であり、主な解析では $r=2$ として、高い正確性を達成する。
• 関数が測度の台の合併の凸包の近傍で解析的である場合、求積公式の収束が確立される。
• 適切な条件下で、求積係数は下からの一様有界性と上からの一様有界性を示し、ポテンシャル論的手法から推定が得られる。
• 求積ノードの極限的分布は、測度の台を含むベクトル平衡問題からの平衡測度によって特徴づけられる。
• 2区間の場合、適切な条件下で $\lambda_{k,2n}^{(1)} \sim \lambda_n(x_k; d\mu_1)$ が $n \to \infty$ のとき成り立ち、古典的クリスティオフェル関数と関連づけられる。