[論文レビュー] Simultaneous global exact controllability of an arbitrary number of 1D bilinear Schr\\"odinger equations

Morgan Morancey, Vahagn Nersesyan|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2013

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 31被引用数 31

ひとこと要約

本稿では、双極子モーメントに一般的な仮定を置いたもとで、任意の数の1次元双線形シュレーディンガー方程式を1つの制御入力でグローバルに正確に可制御であることを確立する。証明は、リャプノフに基づく近似可制御性、コロンのリターン法による有限個の固有状態の和の周囲での局所的正確可制御性、およびコンパクト性の議論を組み合わせることで、初期状態および目標状態が $H^4_{(V)}$ に属する場合に大時間におけるグローバルな正確可制御性を達成する。

ABSTRACT

We consider a system of an arbitrary number of \ extsc{1d} linear Schr\\"odinger equations on a bounded interval with bilinear control. We prove global exact controllability in large time of these $N$ equations with a single control. This result is valid for an arbitrary potential with generic assumptions on the dipole moment of the considered particle. Thus, even in the case of a single particle, this result extends the available literature. The proof combines local exact controllability around finite sums of eigenstates, proved with Coron's return method, a global approximate controllability property, proved with Lyapunov strategy, and a compactness argument.

研究の動機と目的

• 任意の数 $N$ の1次元双線形シュレーディンガー方程式を1つの制御入力で同時にグローバルに正確に可制御化すること。
• 単粒子系の既存の正確可制御性結果を、任意のポテンシャルを伴う多粒子系へと拡張すること。
• $H^4_{(V)}$ ソボレフ空間における一般の双極子モーメント $\mu$ に対する可制御性を証明すること。
• 過去の否定的可制御性結果の制限を、有利なスペクトル仮定を持つより高い正則性設定で克服すること。
• この枠組みにおいて、初期状態と最終状態がユニタリ同値であることが、可制御性の必要十分条件であることを示すこと。

提案手法

• $H^4_{(V)}$ 内の有限個の固有状態の和の周囲での近似可制御性を達成するために、リャプノフ戦略を用いる。
• 参照軌道設計と線形化系の解析を用いて、$H^3_{(V)}$ 内の有限個の固有状態の和の周囲での局所的正確可制御性をコロンのリターン法により証明する。
• 有界性と $H^3$ での収束性を活用することで、コンパクト性の議論により局所的可制御性を大時間スケールでのグローバル正確可制御性に拡張する。
• 摂動論的議論を用いて、$V=0$ の自由系から出発し、任意の $V \in H^4((0,1),\mathbb{R})$ へと結果を拡張する。
• スペクトル解析とモーメント問題を用いて、行列要素 $\langle \mu \varphi_j, \varphi_k \rangle$ の非退化性を保証する双極子モーメント条件の一般性を確立する。
• 実解析的性質と稠密性の議論を用いて、$H^4((0,1),\mathbb{R})$ 内で可制御性を満たす $\mu$ の集合が残渣的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つの制御入力により、任意の初期状態からユニタリ同値な最終状態へ、$N$ 個の同一の1次元量子粒子を $H^4_{(V)}$ 内で正確に制御可能か？
• RQ2 任意の数 $N$ の1次元双線形シュレーディンガー方程式が1つの制御入力でグローバルに正確に可制御可能か、一般かつ任意のポテンシャルを伴う場合に成立するか？
• RQ3 ソボレフ空間枠組みで可制御性を保証するために、ポテンシャル $V$ および双極子モーメント $\mu$ の最小正則性は何か？
• RQ4 リャプノフ関数とリターン法をどのように組み合わせて、無限次元量子系におけるグローバル可制御性を達成できるか？
• RQ5 可制御性を保証する $\mu$ の一般性条件は何か、またこの集合は関数空間 $H^4((0,1),\mathbb{R})$ 内でどのように特徴づけられるか？

主な発見

• 任意の $N \in \mathbb{N}$、任意の $V \in H^4((0,1),\mathbb{R})$、および $H^4((0,1),\mathbb{R})$ 内の残渣的集合 $\mathcal{Q}_V$ に属する双極子モーメント $\mu$ に対して、システムは $\boldsymbol{H}^4_{(V)}$ 内でグローバルに正確に可制御である。
• 可制御性の鍵となる条件は、すべての $j,k \in \mathbb{N}^*$ に対して $\langle \mu \varphi_j, \varphi_k \rangle \neq 0$ であることであり、これは $H^4$ 内で一般に成立する。
• 一般の $\mu$ に対して、行列要素 $\langle \mu \varphi_j, \varphi_k \rangle$ は $k$ が大きい場合に $|\langle \mu \varphi_j, \varphi_k \rangle| \geq C_j / k^3$ を満たし、非退化性が保証される。
• 証明により、共鳴スペクトルが存在する場合でさえ、リャプノフ関数を用いた有限個の固有関数の和への近似可制御性が達成可能であることが示された。
• コロンのリターン法を用いて、有限個の固有状態の和の周囲での局所的正確可制御性が達成され、回転と安定化を可能にする十分な時間間隔が必要である。
• コンパクト性の議論により、$H^4$ 内の有界性と $H^3$ 内の収束性を活用して、局所的可制御性からグローバル正確可制御性への移行が可能である。