[論文レビュー] Simultaneous inhomogeneous Diophantine approximation on manifolds

Victor Beresnevich, Sanju Velani|ArXiv.org|Oct 30, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、任意の非退化な部分多様体 $\mathbb{R}^n$ 上のほとんどすべての点において、同時非斉次ディオファントス近似指数が $1/n$ であることを確立し、スプリンツィクの予想の非斉次版を証明する。主な革新点は、斉次および非斉次指数を結びつける簡略化された非斉次転送原理の導入であり、これにより既知の斉次結果を多様体上の測度論的議論によって応用し、主要結果を導出可能となる。

ABSTRACT

In 1998, Kleinbock & Margulis established a conjecture of V.G. Sprindzuk in metrical Diophantine approximation (and indeed the stronger Baker-Sprindzuk conjecture). In essence the conjecture stated that the simultaneous homogeneous Diophantine exponent $w_{0}(\vv x) = 1/n$ for almost every point $\vv x$ on a non-degenerate submanifold $\cM$ of $\R^n$. In this paper the simultaneous inhomogeneous analogue of Sprindzuk's conjecture is established. More precisely, for any `inhomogeneous' vector $\bmθ\in\R^n$ we prove that the simultaneous inhomogeneous Diophantine exponent $w_{0}(\vv x, \bmθ)= 1/n$ for almost every point $\vv x$ on $M$. The key result is an inhomogeneous transference principle which enables us to deduce that the homogeneous exponent $w_0(\vv x)=1/n$ for almost all $\vv x\in \cM$ if and only if for any $\bmθ\in\R^n$ the inhomogeneous exponent $w_0(\vv x,\bmθ)=1/n$ for almost all $\vv x\in \cM$. The inhomogeneous transference principle introduced in this paper is an extremely simplified version of that recently discovered in \cite{Beresnevich-Velani-new-inhom}. Nevertheless, it should be emphasised that the simplified version has the great advantage of bringing to the forefront the main ideas of \cite{Beresnevich-Velani-new-inhom} while omitting the abstract and technical notions that come with describing the inhomogeneous transference principle in all its glory.

研究の動機と目的

• 多様体上のディオファントス近似におけるスプリンツィクの予想の非斉次版を確立すること。
• 任意の非斉次ベクトル $\bm{\theta} \in \mathbb{R}^n$ に対して、非退化な部分多様体 $\mathcal{M} \subset \mathbb{R}^n$ 上のほとんどすべての $\mathbf{x}$ に対して、同時非斉次指数 $w_0(\mathbf{x}, \bm{\theta}) = 1/n$ が成り立つことを証明すること。
• 非斉次問題を既知の斉次ケースに還元する簡略化された非斉次転送原理を導入し、それを適用すること。

提案手法

• 簡略化された非斉次転送原理を導入し、$\mathcal{M}$ 上で $w_0(\mathbf{x}) = 1/n$ a.e. であることが、任意の $\bm{\theta} \in \mathbb{R}^n$ に対して $w_0(\mathbf{x}, \bm{\theta}) = 1/n$ a.e. であることと同値であることを示す。
• 測度論的議論を用いて、近似が失敗する集合の測度を評価し、互いに交わらない近似球と交わる球のケースを区別する。
• ボレル＝カンテリの補題を適用し、近似指数が $1/n$ を超える点の集合が測度ゼロであることを示す。
• 近似球 $B^\theta_{\mathbf{p},q}(\varepsilon)$ の幾何学的性質とそれらが多様体 $\mathcal{M}$ と交わる場合を、互いに交わらない場合と交わる場合に分ける。
• 交わる球の場合は、点が $\mathcal{S}_n(\varepsilon/3) \cap \mathcal{M}$ に属するか、有理点であることが示され、これらは $\mathcal{M}$ 上で測度ゼロである。
• 互いに交わらない場合と交わる場合の推定値を組み合わせ、$w_0(\mathbf{x}, \bm{\theta}) > 1/n$ を満たす点の集合が $\mathcal{M}$ 上で測度ゼロであることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非退化な部分多様体 $\mathbb{R}^n$ 上のほとんどすべての点において、同時非斉次ディオファントス近似指数は $1/n$ に等しいか？
• RQ2 多様体上の非斉次ディオファントス近似問題は、転送原理を用いて斉次ケースに還元可能か？
• RQ3 多様体上での非斉次不等式によって定義される近似集合の測度論的挙動はいかなるものか？
• RQ4 非退化な多様体の幾何学的性質は、非斉方式でのよく近似可能な点の分布にどのように影響するか？
• RQ5 近似指数が $1/n$ を超える点の集合は、このような多様体上で無視可能か？

主な発見

• 非退化な部分多様体 $\mathcal{M} \subset \mathbb{R}^n$ 上のほとんどすべての $\mathbf{x} \in \mathcal{M}$ に対して、同時非斉次ディオファントス近似指数 $w_0(\mathbf{x}, \bm{\theta}) = 1/n$ が成り立つ。ここで $\bm{\theta} \in \mathbb{R}^n$ は任意である。
• 近似指数が $1/n$ を超える点 $\mathbf{x} \in \mathcal{M}$ の集合は、Lebesgue測度ゼロである。
• 簡略化された非斉次転送原理により、斉次と非斉次指数の間の同値性が確立される：$\mathcal{M}$ 上で $w_0(\mathbf{x}) = 1/n$ a.e. であることと、任意の $\bm{\theta}$ に対して $w_0(\mathbf{x}, \bm{\theta}) = 1/n$ a.e. であることとは同値である。
• 互いに交わらない近似球に含まれる点の集合の測度はゼロである。なぜなら、そのような点は $\mathcal{S}_n(\varepsilon/3) \cap \mathcal{M}$ に属するか、有理点であるが、これらは $\mathcal{M}$ 上で測度ゼロであるからである。
• 互いに交わらない近似球に含まれる点の集合の測度は、スケールが大きくなるにつれてゼロに収束する。これは、このような集合の測度が指数関数的に減少するためである。
• 結果として、スプリンツィクの予想の非斉次版が確認され、古典的なディオファントス近似理論が多様体上の非斉方式に拡張された。