[論文レビュー] Simultaneous Niven Numbers in Arithmetic Progressions for Power-Related Bases

Scott Duke Kominers|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2026

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ひとこと要約

この論文は、基数 b と B=b^k に対して、gcd(m,b)=1 を満たす任意の等差数列には、同時に b-Niven かつ B-Niven となる整数が無限に存在することを証明する。

ABSTRACT

Recently, Harrington, Litman, and Wong [Bulletin of the Australian Mathematical Society, 2024; arXiv:2303.06534] proved that every arithmetic progression contains infinitely many base-$b$ Niven numbers, for any fixed $b\ge 2$. We use a sparse repunit construction to treat a structured two-base version of the same problem, showing that every arithmetic progression with common difference relatively prime to $b$ contains infinitely many integers that are simultaneously $b$-Niven and $b^k$-Niven (indeed, we can obtain simultaneous $b^\ell$-Niven-ness for $\ell=1,\ldots, k$).

研究の動機と目的

• ベースのべき関係性にわたる同時 Niven（Harshad）性の動機づけと研究。
• 1つの基数法則のレピュイント法を、互いにべき関係にある二つの基数へ拡張。
• gcd(m,b)=1 を満たす任意の等差数列には、s_b(n)|n および s_B(n)|n を満たす無限個の n が存在することを示す。
• このような n を構成的・明示的に生成する方法を提供し、b の複数のべきへの拡張を議論する。

提案手法

• B-digit ブロックが小さく（ブロック間にキャリーがない場合）、基数 b と B=b^k の digit-sum の整合性を利用する。
• 乗法的位数に基づく sparse repunit 構成を用いて、n を所望の算術進差（mod m）に強制する。
• s を admmissible（許容 возмож）と定義し、s ≡ r (mod m) および gcd(s,b)=1 を満たすことで、n_s ≡ r (mod m) かつ s|n_s を保証する。
• ω_s = ord_{ms}(B) を設定して、B^{jω_s} ≡ 1 (mod ms) を保証し、n_s = sum_{j=0}^{s-1} B^{jω_s} を導く。
• s | n_s および s_B(n_s) = s_B(n_s) = s を、キャリーなしと base-B 表現での s 個の 1 を用いて導く。
• 無限性は、任意の剰余 r (mod m) に対して無数の許容 s が存在することを示すことで確立する。
• 結論として、b-Niven かつ B-Niven となる n が進差内に無限に存在することを示し、必要に応じて s_0 の調整まで拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 gcd(m,b)=1 を満たす任意の等差数列には、同時に b-Niven かつ b^k-Niven となる無限個の整数が存在するか？
• RQ2 稀薄なレピュイント構成を、二つの関連する基数間でどのように揃えて、共通のデジット和の割り算性を保証できるか？
• RQ3 同じ進差内で複数のべき b^ℓ の同時 Niven 性を強制することは可能か？
• RQ4 基数がべき関係にある場合、base-B と base-b のデジタル和を結びつける構造的な利点は何か？

主な発見

• 任意の b≥2 と k≥1 で B=b^k、任意の m≥1 かつ gcd(m,b)=1、任意の剰余 r (mod m) に対して、S_{m,r] の無限多くの n が s_b(n)|n および s_B(n)|n を満たす。
• s ≡ r (mod m) かつ gcd(s,b)=1 を満たす許容 s を選ぶことで、b-および B-Niven となる n_s を S_{m,r} に構成できる。
• 構成された n_s は s_b(n_s)=s_B(n_s)=s かつ s|n_s を満たし、両基数で同時 Niven 性を与える。
• 異なる許容 s に対して異なる n_s が得られるため、無限性が示される。
• 必要に応じて、構成は全ての ℓ（1≤ℓ≤k） に対して同時 Niven 性を強制するように拡張できる（系論 7.1 のコーロリー7.1）。
• この手法は明示的であり続ける：ω_s = ord_{ms}(B) を計算し、n_s = sum_{j=0}^{s-1} B^{jω_s} を形成する。