[論文レビュー] Simultaneous Source for non-uniform data variance and missing data

Eldad Haber, Matthias Chung|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2014

Geophysical and Geoelectrical Methods参考文献 22被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、非一様なデータ分散および欠損データを伴う地球物理的逆問題に対して、低ランク近似、確率的平均化、データ補完を用いる確率的最適化フレームワークを提案する。これにより、計算コストを低減しつつも精度を維持できる。標準的手法と比較して、90%のデータ削減と50%の前方問題の解法回数削減を達成し、直流抵抗率イメージングにおいて高品質な再構成が可能である。

ABSTRACT

The use of simultaneous sources in geophysical inverse problems has revolutionized the ability to deal with large scale data sets that are obtained from multiple source experiments. However, the technique breaks when the data has non-uniform standard deviation or when some data are missing. In this paper we develop, study, and compare a number of techniques that enable to utilize advantages of the simultaneous source framework for these cases. We show that the inverse problem can still be solved efficiently by using these new techniques. We demonstrate our new approaches on the Direct Current Resistivity inverse problem.

研究の動機と目的

• データの分散が非一様であるか、欠損している場合に、同時ソース法が機能しなくなる問題を解決すること。
• 複雑なデータ共分散構造を有する大規模な逆問題に対して、標準的なガウス・ニュートン法の計算コストを低減する代替手法を開発すること。
• 前方問題の解法回数を顕著に削減しつつも、高い再構成精度を維持すること。
• 不完全または異分散なデータの状況下で、複数の確率的および低ランク近似手法のロバスト性と効率性を評価・比較すること。

提案手法

• データの個々の標準偏差に応じて重み付けを行うため、分散行列 C を用いたフォビニウスノルムを用いた正則化最適化問題として逆問題を定式化する。
• 完全なデータ行列演算を、ソース受信者ペアのランダムサンプリングに置き換えることで、確率的平均近似（SAA）を適用し、計算コストを低減する。
• データ重み付け構造を圧縮し、必要な前方問題の解法回数を削減するために、分散行列 C の低ランク近似を用いる。
• 低次元モデルによるデータ補完を用いて、欠損データエントリを再構成しつつも、逆問題の精度を保持する。
• ガウス・ニュートン反復中に収束性と安定性を向上させるために、SAAにおけるサンプルサイズを段階的に増加させる。
• 前方問題と随伴問題を、複数の右辺を伴う反復的キロフソルバーを用いて解き、3次元問題へのスケーラビリティを実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様なデータ分散を持つ場合でも、同時ソース逆問題を拡張可能であり、精度や計算効率を損なわずに実現できるか？
• RQ2 データの疎らさ（測定値の欠損）は逆問題の品質にどのように影響するか？ また、データ補完やサンプリング戦略によって是正可能か？
• RQ3 低ランク近似、サブセットサンプリング、確率的平均化といった、どの確率的近似手法が精度と計算コストの最良なトレードオフを実現するか？
• RQ4 データの冗長性をどの程度活用すれば、必要な測定回数を削減しつつも、許容可能な再構成品質を維持できるか？
• RQ5 提案されたフレームワークは、同様のデータ課題を有する地球物理学的および医用画像診断分野の他の逆問題に一般化可能か？

主な発見

• 分散行列 C の低ランク近似により、たった17,232回の前方問題の解法で相対誤差18%の再構成誤差を達成し、計算コスト効率面で標準的手法を上回った。
• 90%のデータが欠損している状況でも、低ランク法は28%の回復誤差を達成し、データの疎らさに対して高いロバスト性を示した。
• サブセット法は最も正確な結果（18–19%誤差）を出したが、最大22,000回の前方問題の解法を要し、計算コストが高かった。
• 確率的近似手法により、完全データ手法と比較して前方問題の解法回数が50%以上削減されたが、誤差はわずかに高め（20–30%）であった。
• 低次元モデルによるデータ補完により、90%のデータ損失下でも安定した逆問題が可能となり、誤差は31%以内に維持された。これは、不完全データのシナリオにおいて有望な結果を示した。
• 前方問題の解法回数は、実現回数とガウス・ニュートン反復回数と強く相関しており、実現回数の削減がコスト低減の鍵であることを確認した。