[論文レビュー] Simultaneously recovering running cost and Hamiltonian in Mean Field Games system

Hongyu Liu, Shen Zhang|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2023

Statistical Mechanics and Entropy被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、有界領域の平均場ゲーム（MFG）システムの逆問題を研究し、境界観測から走行コスト F とハミルトニアン H を高次変動と逐次線形化戦略を用いて同定可能性が一意であることを示す。

ABSTRACT

We propose and study several inverse problems for the mean field games (MFG) system in a bounded domain. Our focus is on simultaneously recovering the running cost and the Hamiltonian within the MFG system by the associated boundary observation. There are several technical novelties that make the study intriguing and challenging. First, the MFG system couples two nonlinear parabolic PDEs with one moving forward and the other one moving backward in time. Second, there is a probability density constraint on the population distribution of the agents. Third, the simultaneous recovery of two coupling factors within the MFG system is technically far from being trivial. Fourth, we consider both cases that the running cost depends on the population density locally and non-locally, and the two cases present different technical challenges for the inverse problem study. We develop two mathematical strategies that can ensure the probability constraint as well as effectively tackle the inverse problems, which are respectively termed as high-order variation and successive linearisation. In particular, the high-order variation method is new to the literature, which demonstrates a novel concept to examine the inverse problems by non-negative inputs only. We believe the methods developed can find applications to inverse problems in other contexts.

研究の動機と目的

• 有界条件観測を伴う MFG 系の逆問題を動機づけ、定式化する。
• 走行コスト F とハミルトニアン H の回復に対する一意識別性の結果を確立する。
• 逆問題を解く際に確率密度制約を満たすようにする数学的戦略を開発する。
• F が集団密度 m に局所的にも非局所的にも依存する場合の両方を検討する。
• 質量制約を緩和して F と H を同時に回復できるようにする。

提案手法

• MFG 系を、m に対する密度制約をもつ後向き-前向きの非線形拡散型偏微分方程式系としてモデル化する。
• 非負入力および確率制約を扱うために高次変動を用いる。
• 自明またはほぼ自明な状態の周りで線形化を連続的に適用して線形化方程式を導出する。
• F を m に局所的なものとして、または m に対する非局所積分作用素として扱い、境界データから F と H を回復する。
• 正則依存と陰関数定理を用いて、入力 (m0, ψ) に対する局所的良挙性と微分可能性を確立する。
• N_{F1,H1}(m0,ψ) = N_{F2,H2}(m0,ψ) が成り立つとき、 κ1=κ2 かつ F1=F2 になることを示す（非局所 F の場合は核 K1, K2 に対して同様）。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界観測から MFG 系の走行コスト F とハミルトニアン H の両方を一意に決定できるか。
• RQ2 m の確率密度制約は同定可能性にどのような影響を与え、 inversion 中にそれが満たされることを保証する技法は何か。
• RQ3 F が局所的に依存する場合と非局所的に依存する場合で同定可能性にどのような差が生じるか。
• RQ4 密度制約の a=1 に限定せず、高次変動と線形化の組み合わせで複数の未知数を同時に回復できるか。

主な発見

• 局所的に依存する F の場合、境界測定が (F1,H1) と (F2,H2) の2組で一致するとき、 κ1=κ2 および F1=F2 が成立する。
• 非局所 F の形 F(x,m)=∫Ω K(x,y)m(y,t) に対して、境界データが同一であれば κ1=κ2 および K1=K2 が成立する。
• 著者らは確率密度制約を課し逆問題に取り組むための2つの戦略—高次変動と高次/逐次線形化—を開発している。
• mass 制約を 1 から (0,1] の任意の値に緩和することで、F（局所・非局所）と H を同時に回復することを可能にする。
• 前向き写像の局所的良挙性と入力へのホモロジー依存性を確立し、逆問題に必要な微分可能性を確保する。
• これらの手法は、境界データと有界リプシッツ領域内の初期/終端条件と共に機能するよう設計されている。