[論文レビュー] Simultaneously Satisfying Linear Equations Over $\mathbb{F}_2$: MaxLin2 and Max-$r$-Lin2 Parameterized Above Average

Robert Crowston, Michael R. Fellows+5 more|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 22被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、𝔽₂ 上の MaxLin2 および Max-r-Lin2 問題に対するパrameter化されたアルゴリズムを導入し、カーネル化と確率的解析を用いて固定パrameter tractability を示す。MaxLin2-AA[k] は、サイズ O(k² log k) のカーネルを有し、2^O(k log k) · poly(n,m) 時間で解けることが証明され、未解決問題が解決された。Max-r-Lin2-AA[k,r] に対しては、サイズ (2k−1)r のカーネルが得られ、従来の境界を改善し、次数 r の擬似ブール関数に対する新たな下界を導出した。

ABSTRACT

In the parameterized problem extsc{MaxLin2-AA}[$k$], we are given a system with variables $x_1,...,x_n$ consisting of equations of the form $\prod_{i \in I}x_i = b$, where $x_i,b \in \{-1, 1\}$ and $I\subseteq [n],$ each equation has a positive integral weight, and we are to decide whether it is possible to simultaneously satisfy equations of total weight at least $W/2+k$, where $W$ is the total weight of all equations and $k$ is the parameter (if $k=0$, the possibility is assured). We show that extsc{MaxLin2-AA}[$k$] has a kernel with at most $O(k^2\log k)$ variables and can be solved in time $2^{O(k\log k)}(nm)^{O(1)}$. This solves an open problem of Mahajan et al. (2006). The problem extsc{Max-$r$-Lin2-AA}[$k,r$] is the same as extsc{MaxLin2-AA}[$k$] with two differences: each equation has at most $r$ variables and $r$ is the second parameter. We prove a theorem on extsc{Max-$r$-Lin2-AA}[$k,r$] which implies that extsc{Max-$r$-Lin2-AA}[$k,r$] has a kernel with at most $(2k-1)r$ variables improving a number of results including one by Kim and Williams (2010). The theorem also implies a lower bound on the maximum of a function $f:\ \{-1,1\}^n ightarrow \mathbb{R}$ of degree $r$. We show applicability of the lower bound by giving a new proof of the Edwards-Erd{\H o}s bound (each connected graph on $n$ vertices and $m$ edges has a bipartite subgraph with at least $m/2 + (n-1)/4$ edges) and obtaining a generalization.

研究の動機と目的

• Mahajan ら (2006) が提起した未解決問題である、MaxLin2-AA[k] の固定パrameter tractability を、カーネル化と効率的アルゴリズムを用いて解決すること。
• 各方程式が高々 r 個の変数をもつ Max-r-Lin2-AA[k,r] に分析を拡張し、カーネルサイズの境界を改善すること。
• 次数 r の擬似ブール関数 f: {-1,1}^n → ℝ の最大値に対する新たな下界を導出すること。
• この下界を応用して、Edwards-Erdős の二部部分グラフ境界を再証明および一般化すること。

提案手法

• 𝔽₂ 上の確率的解析と線形代数を用いて、方程式系の最大超過（excess）を評価する。
• ランクに基づく議論を用いて、ランクの観点から MaxLin2-AA[k] を O(k² log k) 個の変数にカーネル化する。
• 不可約系の構造的特徴づけを導入し、カーネルサイズを制限する。
• 満たされた方程式と満たされない方程式の重みの差を分析するため、ε_S(x⁰) = ∑ c_j ∏_{i∈I_j} x_i⁰ の概念を用いる。
• 係数行列 A のランクを用いて、最大超過の下界を導出し、公式 max f(x) ≥ W/2 + ⌊(rank A + r − 1)/r⌋ / 2 を得る。
• インcidencematrix を用いてグラフに応用し、連結グラフではランク = n−1 であることから Edwards-Erdős の境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Mahajan ら (2006) が提起した未解決問題である、MaxLin2-AA[k] が小さいカーネルを用いて固定パrameter時間で解けるか？
• RQ2 Max-r-Lin2-AA[k,r] の最適なカーネルサイズは何か？ そして、既存の境界を上回る改善が可能か？
• RQ3 𝔽₂ 上の線形方程式の構造から、次数 r の擬似ブール関数の最大値に対する新たな下界を導出可能か？
• RQ4 この下界を用いて Edwards-Erdős の二部部分グラフ境界を再証明および一般化可能か？

主な発見

• MaxLin2-AA[k] は、サイズ O(k² log k) のカーネルを有し、Mahajan ら (2006) の未解決問題が解決された。
• MaxLin2-AA[k] は、2^O(k log k) · (nm)^O(1) 時間で解けることが保証され、固定パrameter tractability が確立された。
• Max-r-Lin2-AA[k,r] に対しては、サイズ (2k−1)r のカーネルが得られ、Kim と Williams (2010) の結果を含む従来の境界を改善した。
• 任意の実数値関数 f: {-1,1}^n → ℝ の最大値に対して、max f(x) ≥ W/2 + ⌊(rank A + r − 1)/r⌋ / 2 という新たな下界が証明された。
• この下界により、Edwards-Erdős の境界の新たな証明が得られた：n 頂点と m 辺をもつ任意の連結グラフは、少なくとも m/2 + (n−1)/4 条の辺を含む二部部分グラフをもつ。
• この境界は、ラベル付き辺（‘=’ または ‘≠’）をもつ任意の連結グラフに対して、2 色塗り分けで少なくとも m/2 + (n−1)/4 条の辺を満たすものが存在することを一般化する。