[論文レビュー] Sinc approximation of algebraically decaying functions

Dmytro Sytnyk|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2018

Mathematical functions and polynomials参考文献 33被引用数 826

ひとこと要約

本論文は実数線上の sinc 補間を代数的減衰関数へ拡張し、Lambert W を用いた誤差界を導出し、数値デモを提供する。

ABSTRACT

An extension of sinc interpolation on $\mathbb{R}$ to the class of algebraically decaying functions is developed in the paper. Similarly to the classical sinc interpolation we establish two types of error estimates. First covers a wider class of functions with the algebraic order of decay on $\mathbb{R}$. The second type of error estimates governs the case when the order of function's decay can be estimated everywhere in the horizontal strip of complex plane around $\mathbb{R}$. The numerical examples are provided.

研究の動機と目的

• R 上の代数的減衰を持つ関数に古典的 sinc 補間を拡張する。
• R 内の代数的減衰と、R の周囲の水平ストリップでの減衰の2つの誤差推定を導出する。
• 最適なステップサイズ選択と誤差界へ Lambert W 関数を組み込む。
• 収束挙動を示す解析的および数値的結果を提供する。

提案手法

• sinc 補間 C_N{f,h}(x)=sum_{k=-N}^{N} f(kh) sinc(x/h - k).
• f in H^1(D_d) を満たし、|f(x)| ≤ L/(1+|x|^α) を満たすアルゲリブラシ減衰 α>1 を仮定する。
• Lambert W を含む誤差境界を導出: E_N ~ (α^α (N+1)^{1-α})/((α-1)(π d)^α) [W(...)]^α で適切な h を取る。
• 離散化誤差と切り捨て誤差をバランスさせて Lambert W による最適な h を得る。これにより (1.3) および関連公式が得られる。
• ストリップ D_d 内で解析的で減衰境界を持つ関数へ拡張し、代替の誤差推定 (Theorem 2.1) を得る。
• 実用的な h の選択について議論し、 bound に既知の N_1(f,D_d) または L を取り込むための系譜をコロラリを提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指数的減衰ではなく代数的減衰を持つ関数に対して、sinc 補間をどのように拡張できるか？
• RQ2 R 上で代数的減衰を示し水平方向のストリップで解析的である場合、得られる誤差界はどうなるか？
• RQ3 この設定で Lambert W 関数をどのように用いて離散化誤差と切り捨て誤差を最適にバランスさせることができるか？
• RQ4 Lとαで指定された減衰環境を持つストリップ内で解析的な場合、これらの界はどのように比較されるか？
• RQ5 実践的に h を選択し、数値実験を通じて収束を検証する際、著者らはどのような指針を提供しているか？

主な発見

• 定理1.1 は、減衰 |f(x)| ≤ L/(1+|x|^α) (α>1) を持つ代数的減衰 f に対する 2N+1 成分の sinc 補間の誤差界を証明する。
• 界は Lambert W を含み、漸近的には (N+1)^{1-α} log^α(N+1) のオーダーを与える。
• 離散化誤差と切り捨て誤差のバランスをとるため、Lambert W を用いた式 (1.3) で h の明示的な選択値が与えられる。
• 補題1.3 は、N_1(f,D_d) を用いて h と誤差定数を調整する界のバリアントを提供する。
• 定理2.1 は、ストリップ内で解析的かつ代数減衰環境を持つ関数へ結果を拡張し、関連する誤差界 (2.2) と (2.3) による h を与える。
• 数値例は収束挙動を示し、提案されたパラメータ選択の有効性を示している。