[論文レビュー] Single cut and multicut SDDP with cut selection for multistage stochastic linear programs: convergence proof and numerical experiments

Vincent Guigues, Michelle Bandarra|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2019

Risk and Portfolio Optimization参考文献 34被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、マルチステージ確率的線形計画問題におけるマルチカット分解アルゴリズム（MuDA）および確率的デュアル動的プログラミング（SDDP）のためのカット選択戦略であるCuSMuDAを提案する。レベル1および限界メモリレベル1（LML1）カット選択を適用することで、計算負荷を軽減しつつ、有限反復内でほぼ確実に収束することを保証する。数値実験では、ポートフォリオ問題および在庫管理問題においてLML1が顕著な高速化を達成した。

ABSTRACT

We introduce a variant of Multicut Decomposition Algorithms (MuDA), called CuSMuDA (Cut Selection for Multicut Decomposition Algorithms), for solving multistage stochastic linear programs that incorporates a class of cut selection strategies to choose the most relevant cuts of the approximate recourse functions. This class contains Level 1 and Limited Memory Level 1 cut selection strategies, initially introduced for respectively Stochastic Dual Dynamic Programming (SDDP) and Dual Dynamic Programming (DDP). We prove the almost sure convergence of the method in a finite number of iterations and obtain as a by-product the almost sure convergence in a finite number of iterations of SDDP combined with our class of cut selection strategies. We compare the performance of MuDA, SDDP, and their variants with cut selection (using Level 1 and Limited Memory Level 1) on several instances of a portfolio problem and of an inventory problem. On these experiments, in general, SDDP is quicker (i.e., satisfies the stopping criterion quicker) than MuDA and cut selection allows us to decrease the computational bulk with Limited Memory Level 1 being more efficient (sometimes much more) than Level 1.

研究の動機と目的

• 各反復で増加する最適性カットの数に起因する、マルチカットSDDPおよびMuDAの計算負荷の低減。
• 収束保証を維持しつつ、メモリ使用量と計算量を削減する一般クラスのカット選択戦略の開発。
• 提案されたカット選択フレームワークを組み合わせたMuDAおよびSDDPのほぼ確実な収束の証明。
• 実世界のマルチステージ確率的計画問題における、カット選択バリエーション（特に限界メモリレベル1）の性能評価。
• カット選択が解の品質を損なわず、CPU時間を著しく削減できることの実証。

提案手法

• 仮定(H3)を満たす選択子に基づく、収束を保証するカット選択戦略の族を提案。
• 提案されたカット選択クラスと組み合わせたマルチカット分解アルゴリズムを統合したフレームワークであるCuSMuDAを導入。
• 元々SDDPおよびDDP用に開発されたレベル1および限界メモリレベル1（LML1）カット選択戦略を、マルチカット設定に適応。
• 試行点を用いてカットの関連性を評価し、情報量の多いカットのみを選択することで、各反復における有効カット数を削減。
• [16]で示された決定的DDPの収束証明技術を、一般のカット選択ルールに拡張して、確率的ケースに適用。
• LML1では、各試行点で最も古いカットのみを保持することで、メモリ使用量を最小限に抑えつつ収束性を維持。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単一カットSDDPから拡張されたカット選択戦略は、最適性を保ちつつマルチカット分解アルゴリズム（MuDA）へと拡張可能か？
• RQ2 限界メモリレベル1（LML1）カット選択戦略は、マルチステージ確率的計画問題において、標準的なレベル1戦略を上回る計算効率を示すか？
• RQ3 ポートフォリオおよび在庫管理問題におけるSDDPおよびMuDAにおいて、カット選択が反復回数およびCPU時間に与える影響は？
• RQ4 どのような条件下でカット選択がより速い収束をもたらし、逆に効果が薄くなるか？
• RQ5 一般の選択子ルールを用いた確率的設定下での、カット選択付きSDDPの収束を厳密に証明できるか？

主な発見

• 限界メモリレベル1（LML1）カット選択を用いたCuSMuDAは、標準的なMuDAと比較してCPU時間を顕著に削減し、T=30のとき56.62分（MuDAは363.86分）の実行時間となった。
• SDDPにLML1カット選択（SDDP CS 2）を適用した場合、在庫問題の6つのインスタンスのうち5つで最も高速であり、T=5のとき0.18分（標準SDDPは0.57分）の実行時間となった。
• CuSMuDA CS 1（レベル1）は、過剰なカット保持に起因し、MuDAおよびCuSMuDA CS 2より遅く、T=30のとき最大で575.53分のCPU時間を要した。
• CuSMuDA CS 2（LML1）が選択するカットの平均割合は、すべての段階で非常に低く（10％未満）、一方CuSMuDA CS 1（レベル1）ははるかに多くのカットを保持していた。
• すべての手法が一貫した上界と下界を生成しており、カット削減の影響を受けても解の品質が保持されていることが確認された。
• 提案されたカット選択フレームワークを組み合わせたSDDPおよびMuDAの収束は、有限反復内でほぼ確実に保証され、従来の決定的結果を確率的ケースに拡張した。