[論文レビュー] Single-index copulae

Jean‐David Fermanian, Olivier Lopez|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2015

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 36被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、コピュラのパラメータが未知のリンク関数を通じて単変量のインデックスに依存すると仮定することにより、高次元の従属構造モデリングを低次元化する半パラメトリックモデルである単インデックス・コピュラーを導入する。著者らはリンク関数および有限次元パラメータの推定器を提案し、正則性条件の下でその漸近正規性と一致性を確立することで、条件付きコピュラー・モデリングにおける次元の呪いを克服する。

ABSTRACT

We introduce so-called "single-index copulae". They are semi-parametric conditional copulae whose parameter is an unknown "link" function of a univariate index only. We provide estimates of this link function and of the finite dimensional unknown parameter. The asymptotic properties of the latter estimates are stated. Thanks to some properties of conditional Kendall's tau, we illustrate our technical conditions with several usual copula families.

研究の動機と目的

• 高次元の共変量を伴う条件付きコピュラー・モデルにおける次元の呪いを解消すること。
• コピュラー・パラメータが未知のリンク関数を通じて単変量インデックスに依存する半パラメトリックモデルを提案すること。
• 単インデックス構造におけるリンク関数および有限次元パラメータの両方の推定器を開発すること。
• 正則性条件の下で、パラメータ推定器の漸近的性質（一貫性および正規性）を確立すること。
• 条件付きケンダルのtauを用いて手法の実用性を示し、一般的なコピュラー族を用いて技術的条件を具体化すること。

提案手法

• 共変量の線形結合に基づくインデックスを用いて条件付きコピュラー・パラメータをモデル化する。すなわち、θ(z) = ψ(β₀′z) とし、β₀ を有限次元パラメータ、ψ を未知のリンク関数とする。
• バイアスと分散のバランスを考慮して選ばれたバンド幅 h̃ を用いて、インデックス β′Z の密度および条件付き期待値をカーネルスムージングで推定する。
• 局所的推定方程式アプローチを用いてリンク関数 ψ を推定し、推定関数のカーネル加重付き経験的バージョンを用いる。
• 正則性条件の下で、β₀ の推定器の漸近分布を導出し、正規分布への収束を示す。
• 統計的過程理論およびカーネル密度推定を用いて、推定コピュラーおよびその微分の一様収率を確立する。
• 技術的条件の検証およびモデルと従属構造との関連付けのため、条件付きケンダルのtauを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コピュラー・パラメータに単インデックス仮定を適用することで、柔軟性を損なわずに条件付きコピュラー・モデルの次元を低減できるか？
• RQ2 この半パラメトリック枠組みにおけるリンク関数およびインデックス・パラメータ β₀ の推定器の漸近的性質は何か？
• RQ3 単インデックス構造を用いることで、非パラメトリックな条件付きコピュラー推定における次元の呪いをどのように緩和できるか？
• RQ4 このモデル下で、推定コピュラーおよびその微分の均一収率は何か？
• RQ5 条件付きケンダルのtauを用いて技術的条件を検証し、モデル仮定の妥当性を検証できるか？

主な発見

• 正則性条件の下で、有限次元パラメータ β₀ の推定器は漸近的に正規分布に従い、収束速度は O_P(√n) である。
• 推定コピュラーおよびその微分の均一収率は、O_P(˜h^˜s + [log n]^{1/2} / (n^{1/2} ˜h^{1/2}))) である。ここで ˜h はバンド幅である。
• 推定コピュラーの1階微分の均一収率は、O_P(˜h^˜s + [log n]^{1/2} / (n ˜h^{3/2}))) である。
• 推定コピュラーの2階微分の均一収率は、O_P(˜h^˜s + [log n]^{1/2} / (n ˜h^{5/2}))) である。
• この手法により、p次元の共変量空間全体への依存を1つのインデックスに低減することで、次元の呪いを回避する。
• 条件付きケンダルのtauは、技術的条件の検証およびモデルと実際の従属構造との関連付けに用いられる。